インピーダンスとは

電磁気・回路

インピーダンスとは、交流回路での電流の流れにくさを表す物理量です。交流の場合は、電流を妨げるものとして抵抗の他、コンデンサとコイルか追加されます。

交流回路

交流の場合には、電圧と電流はプラスとマイナスが交互に入れ替わり、以下のように三角関数(指数関数)で表されます。ここで、$V_0$ と$J_0$ は最大値、$\theta$ は電圧と電流の位相差を表します。

$$\tilde{V}=V_0 \cos{\omega t}=V_0e^{i\omega t}$$

$$\tilde{J}=J_0 \cos{(\omega t-\theta)}=J_0e^{i(\omega t-\theta)}$$

実効値

電圧と電流の実効値は以下で表されます。

$$V_e=\sqrt{\overline{V^2}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^TV_0^2\cos^2{\omega t}}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$$

$$J_e=\sqrt{\overline{J^2}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T J_0^2 \cos^2{(\omega t-\theta)}}=\frac{J_0}{\sqrt{2}}$$

電力

交流の場合の電力は、電圧と電流で位相差がある場合は、以下で計算されます。

$$\tilde{P}=\frac{1}{T}\int_0^T VJdt=\frac{1}{2}V_0J_0\cos{\theta}=VI\cos{\theta}$$

コンデンサ

コンデンサとは、電気を蓄えたり、放電したりする電子分品です。直流の場合は、定常的に電流が流れることはありませんが、交流の場合は、充電と放電を繰り返すことにより、電流が流れます。

コンデンサに電気を蓄えられる電気量(Q)と電圧の関係は以下で表すことができます。

$$Q=CV$$

Cはキャパシタンス(電気容量)と呼ばれ、単位はファラッド(F)です。1ファラッドのコンデンサに1ボルトの電圧をかけると、1クーロンの電気量を蓄えることができます。

上の式の両辺を時間微分すると、電流と電圧の関係式が得られます。

$$J=\dot{Q}=i\omega CV$$

交流の場合の抵抗をインピーダンス(Z)と呼びます。上の式を書き換えると以下になります。

$$V=Z_cJ  ,   Z_c=\frac{1}{i\omega C}$$

コイル

コイルとは、導線をらせん状に巻いたもので、交流電流が流れると、電磁誘導により電流を抑制する抵抗の働きをします。

コイルに流れる電流(J)とコイルの中を貫く磁束(Φ)の関係は以下で表されます。

$$\Phi=LJ$$

Lはインダクタンスと呼ばれ、単位はヘンリー(H)です。1ヘンリーのコイルに1アンペアの電流を流すと、1ウェーバの磁束が発生します。

上の式の両辺を時間微分すると、磁束の時間変化はコイルに働く起電力になるため、電流と電圧の関係式が得られます。

$$V=\dot{\Phi}=i\omega LJ$$

コイルの場合のインピーダンスは以下で表すことができます。

$$V=Z_LJ  ,    Z_L=i\omega L$$

インピーダンス

交流のオームの法則も、インピーダンスを使って、直流と同様に表すことができます。

$$V=ZJ$$

例えば、抵抗とコンデンサとコイルが直列に並んでいる場合は、インピーダンスは以下で表されます。

$$Z=R+Z_c+Z_L=R+\frac{1}{i\omega C}+i\omega L$$

インピーダンスの直列接続と並列接続の合成の式も同様に表すことができます。

$$    Z=Z_1+Z_2      ,    \frac{1}{Z}=\frac{1}{Z_1}+\frac{1}{Z_2}$$

リアクタンス

インピーダンスは一般的に、実数部と虚数部に分かれます。実数部は抵抗(R)ですが、虚数部はリアクタンス(X)と呼ばれます。

$$Z\equiv R+iX$$

また、インピーダンスの逆数は、伝導率を表し、実数部はコンダクタンス(G)、虚数部はサセスタンス(S)と呼ばれます。

$$\frac{1}{Z}\equiv G+iB$$

単位まとめ

名称 記号 単位 次元
電流 J アンペア(A) $I$
電気量 Q クーロン(C) $TI$
電圧 V ボルト(V) $ML^2T^{-3}I^{-1}$
抵抗 R オーム(Ω) $ML^2T^{-3}I^{-2}$
電力 P ワット(W) $ML^2T^{-3}$
磁束 Φ ウェーバ(Wb) $ML^2T^{-2}I^{-1}$
キャパシタンス C ファラッド(F) $M^{-1}L^{-2}T^4I^2$
インダクタンス L ヘンリー(H) $ML^2T^{-2}I^{-2}$
インピーダンス Z オーム(Ω) $ML^2T^{-3}I^{-2}$

 

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