プラズマ振動
プラズマ振動とは、電子がイオンに対して集団的に変位することで生じる、電荷密度と電場の振動です。電子がイオンに対して少し変位すると電荷分離が生じ、それにより発生した電場により電子を元に戻す力が働きます。これを繰り返すことで電子が振動します。
電子の熱運動（$k_BT$）による圧力を無視できる冷たいプラズマ近似でのプラズマ振動数 $\omega_p$ は以下になります。ここで、$e$ は電荷、$m$ は電子の質量、$n_0$ は単位体積当たりの電子数です（①の導出）。
$$\omega_p^2=\frac{n_0e^2}{m_e\epsilon} -①$$
また、磁場はなく、イオンの分布は一様で固定されていると仮定します。
①の導出
プラズマの流体方程式のうち、電子の連続の方程式と運動方程式、ポアソンの方程式（マクスウェル方程式）を使います。運動方程式の磁場と熱運動（圧力）の項は削除しています。
$$\frac{\partial n_e}{\partial t}+\nabla\cdot(n_e{\bf v}_e)=0 -②$$$$m_en_e\frac{\partial{\bf v}_e}{\partial t}+mn_e({\bf v}_e\cdot\nabla){\bf v}_e=-en_e{\bf E} -③$$$$\nabla\cdot{\bf E}=\frac{e}{\epsilon}(n_i-n_e) -④$$
ここで、各変数を一様な部分（添え字０）と振動する部分（添え字１）に分け、
$$n_e=n_0+n_1$$$$n_i=n_{i0}+n_{i1}$$$${\bf v}_e={\bf v}_0+{\bf v}_1$$$${\bf E}={\bf E}_0+{\bf E}_1$$
電子に比べてイオンは非常に重いため、電子プラズマ振動の時間スケールではイオンを静止している考えられます。そして、一様で静止した電気的中性な平衡状態のまわりでの微小振動として扱います。
$${\bf v}_0=0$$$${\bf E}_0=0$$$$n_i=n_0=\mathrm{const}$$
これらを②～④に代入し、$n_1$ 、${\bf v}_1$ 、${\bf E}_1$ は平衡状態からの微小な摂動とし、２次以上の微小量を無視します。
$$\frac{\partial n_1}{\partial t}+n_0\nabla\cdot{\bf v}_1=0 -②’$$$$m_e\frac{\partial{\bf v}_1}{\partial t}=-e{\bf E}_1 -③’$$$$\nabla\cdot{\bf E}_1=-\frac{en_1}{\epsilon} -④’$$
次に、振動する部分は平面波（フーリエモード）$e^{i(kx-\omega t)}$ と仮定すると、
$$\frac{\partial}{\partial t} \to -i\omega$$$$\nabla \to i{\bf k}$$
のように、微分方程式を代数方程式に変換でき、${\bf v}_1$ と ${\bf E}_1$ の $x$ 成分と $y$ 成分を０とすると、②’～④’ は次のように書き替えられます。
$$-i\omega n_1+ikn_0v_1=0$$$$-i\omega m_ev_1=-eE_1 -⑤$$$$ikE_1=-\frac{en_1}{\epsilon}$$
この最初の式と最後の式を書き換えると、
$$v_1=\frac{\omega}{kn_0}n_1$$$$E_1=\frac{ie}{k\epsilon}n_1$$
これらを⑤に代入すると①が得られます。
$$\omega^2=\frac{n_0e^2}{m_e\epsilon} \to①$$
ラングミュア波
熱運動を含む場合のプラズマ振動数（ラングミュア波、Langmuir wave）は以下になります。ここで、$\gamma$ は比熱比、$k_B$ はボルツマン定数、$T_e$ は電子の温度です（⑥の導出）。
$$\omega^2=\omega_p^2+\frac{\gamma k_BT_e}{m_e}k^2 -⑥$$$$\gamma=\frac{C_p}{C_v}$$
この第１項は、電荷分離による電場が生む復元力、第２項は、電子の熱圧力による復元力を表します。尚、単純な流体モデルでは $\gamma=5/3$ であるため、
$$\omega^2=\omega_p^2+\frac{5}{3}\frac{k_BT_e}{m_e}k^2$$
一方、無衝突プラズマを運動論的に扱うと、長波長極限ではボーム・グロス分散関係が得られます。
$$\omega^2\simeq\omega_p^2+\frac{3k_BT_e}{m_e}k^2$$
冷たいプラズマ、あるいは、長周波極限（$k\to0$）では $\omega=\omega_p$ となり、波数 $k$ に依存しません。一方、熱運動を考慮すると $\omega$ は $k$ に依存し、プラズマ振動は分散性を持つ波になります。
⑥の導出
電子の熱運動による圧力を考慮すると、電子の運動方程式③には右辺に圧力項が加わります。
$$m_en_e\frac{\partial{\bf v}_e}{\partial t}+m_en_e({\bf v}_e\cdot\nabla){\bf v}_e=-en_e{\bf E}-\nabla p_e -⑦$$
この圧力項を書き換えるため、断熱変化として、次の状態方程式を使います。
$$p_e=C\rho^\gamma$$
この両辺の対数をとり、微分すると $\nabla p_e/p_e=\gamma\nabla\rho/\rho$ であるから、$\rho=m_en_e$ と $p_e=n_ek_BT_e$ を使うと、
$$\nabla p_e=\frac{\gamma p_e}{\rho}\nabla\rho=\frac{\gamma p_e}{n_e}\nabla n_e=\gamma k_BT_e\nabla n_e$$
これにより、⑦は以下になります。
$$m_en_e\frac{\partial{\bf v}_e}{\partial t}+m_en_e({\bf v}_e\cdot\nabla){\bf v}_e=-en_e{\bf E}-\gamma k_BT_e\nabla n_e$$
変数を一様な部分と振動する部分に分けると、
$$m_en_0\frac{\partial{\bf v}_1}{\partial t}=-en_0{\bf E}_1-\gamma k_BT_e\nabla n_1$$
振動する部分は平面波 $e^{i(kx-\omega t)}$ と仮定すると、
$$-i\omega m_en_0v_1=-en_0E_1-ik\gamma k_BT_en_1$$
これを⑤の代わりに使って同様な計算をすると、以下になります。
$$\omega^2=\frac{e^2n_0}{m_e\epsilon}+\frac{\gamma k_BT_e}{m_e}k^2 \to⑥$$
