フーリエ変換
フーリエ変換とは、元の関数の周波数成分を変数とした関数への変換です。フーリエ級数の係数を求める式がフーリエ変換となります。
空間成分
空間成分のフーリエ変換は、フーリエ余弦積分④より以下で定義され、
$$F(k)=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty f(x)\cos{kx}dx$$
逆フーリエ変換は以下により定義されます。
$$f(x)=\int_0^\infty F(k)\cos{kx}dk$$
また、複素形式のフーリエ変換と逆フーリエ変換は、⑥より以下で定義されます。
$$F(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ikx}dx －①$$$$f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(k)e^{ikx}dk －②$$
時間成分
時間成分のフーリエ変換の逆フーリエ変換は、①②で $(k,x)$ → $(\omega,t)$ と置き換えることで得られます。
$$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt$$$$f(t)=\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$
フーリエ積分定理
$-\infty\gt x\gt\infty$ で区分的になめらかな関数 $f(x)$ について、その積分が存在するなら、以下のようなフーリエ積分で表されます。ここで $f(x+0)$ は右極限、$f(x-0)$ は左極限を表します。（③の導出）
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty dk\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\cos{\Big(k(\xi-x)\Big)}d\xi -③$$
$f(x)$ が隅関数の場合、③はフーリエ余弦積分で書き換えられます。
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\cos{kx}dk\int_0^\infty f(\xi)\cos{k\xi}d\xi -④$$
$f(x)$ が奇関数の場合、③はフーリエ正弦積分で書き換えられます。
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty\sin{kx}dk\int_0^\infty f(\xi)\sin{k\xi}d\xi -⑤$$
③を複素形式では以下で表されます。
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{ikx}dk\int_{-\infty}^\infty f(\xi)e^{-ik\xi}d\xi -⑥$$
③の導出
$\lambda$ を正の実数として $D_\lambda(x)$ を以下で定義すると、
$$D_\lambda(x)\equiv\int_0^\lambda\cos{kx}dk$$
以下の関係が成り立ちます。（⑦の導出）
$$D_\lambda(x)=\frac{\sin{\lambda x}}{x} -(1)$$$$\lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^aD_\lambda(x)dx=1 -⑦$$
$f(x)$ が $-\infty\gt x\gt\infty$ で区分的になめらかな関数で、その積分が存在するなら、フーリエ級数の収束を導出したときの手順により、（⑧の導出）（⑨の導出）
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^af(\xi)D_\lambda(x-\xi)d\xi -⑧$$$$\simeq\lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(\xi)D_\lambda(x-\xi)d\xi -⑨$$
これに $D_\lambda$ の定義式を代入し、$l$ の極限と $k$ の積分の順番を入れ替えると、③を得ることができます。（⑩の導出）
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{1}{\pi}\lim_{\lambda\to\infty}\lim_{l\to\infty}\int_0^\lambda dk\int_{-l}^ld\xi f(\xi)\cos{\Big(k(\xi-x)\Big)} -(2)$$$$=\frac{1}{\pi}\lim_{\lambda\to\infty}\int_0^\lambda dk\lim_{l\to\infty}\int_{-l}^ld\xi f(\xi)\cos{\Big(k(\xi-x)\Big)} -⑩$$$$=\frac{1}{\pi}\int_0^\infty dk\int_{-\infty}^\infty d\xi f(\xi)\cos{\Big(k(\xi-x)\Big)} \to③$$
⑦の導出
⑦の左辺について、(1)より $D_\lambda(x)$ は偶関数であり、$\lambda x=\xi$ と置くと、
$$\lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-a}^aD_\lambda(x)dx=\lim_{\lambda\to\infty}\frac{2}{\pi}\int_0^a\frac{\sin{\lambda x}}{x}dx$$$$=\lim_{\lambda\to\infty}\frac{2}{\pi}\int_0^{a\lambda}\frac{\sin{\xi}}{\xi}d\xi=1$$
最後は以下の関係を使っています。
$$\int_0^{\infty}\frac{\sin{\xi}}{\xi}d\xi=\frac{\pi}{2}$$
⑧の導出
$a=\pi$ と置いて $f(\xi)$ が区分的になめらかで連続な関数の場合を導出します。
$$f(x_0)=\lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\xi)D_\lambda(x_0-\xi)d\xi -(3)$$
(3)で $\xi-x=\eta$ と置くと、$f(x)$ と $D_\lambda(x)$ が周期 $2\pi$ をもち、 $D_\lambda(x)$ が偶関数であるため、
$$\int_{-\pi}^\pi f(\xi)D_\lambda(x-\xi)d\xi=\int_{-\pi-x}^{\pi-x}f(x+\eta)D_\lambda(-\eta)d\eta$$$$=\int_{-\pi}^{\pi}f(x+\eta)D_\lambda(\eta)d\eta -(4)$$
このように(3)を書き換えると、
$$\lim_{\lambda\to\infty}\Big(\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x_0+\eta)D_\lambda(\eta)d\eta-f(x_0)\Big)=0 -(5)$$
この括弧の中に⑦の両辺に $f(x_0)$ を掛けた式を使い、(1)を代入すると、
$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\Big(f(x_0+\eta)-f(x_0)\Big)D_\lambda(\eta)d\eta=\int_{-\pi}^\pi F(\eta)\sin{\lambda\eta}d\eta$$$$F(\eta)\equiv\frac{f(x_0+\eta)-f(x_0)}{\pi\eta}$$
この積分を３つの区間に分けると、
$$\int_{-\pi}^\pi=\int_{-\pi}^{-\delta}+\int_{-\delta}^\delta+\int_\delta^\pi$$
右辺の第１項と第３項の区間で区分的でなめらかであるから、リーマン・ルベーグの定理より、$n\to0$ で０に収束します。第２項の区間について $F(\eta)$ は、
$$\lim_{\eta\to0+}F(\eta)=\frac{1}{\pi}\lim_{\eta\to0+}\frac{f(x_0+\eta)-f(x_0)}{\eta}=\frac{1}{\pi}f'(x_0+0)$$$$\lim_{\eta\to0-}F(\eta)=\frac{1}{\pi}\lim_{\eta\to0-}\frac{f(x_0+\eta)-f(x_0)}{\eta}=\frac{1}{\pi}f'(x_0-0)$$
これより $F(\eta)$ は $\eta=0$ の左右の極限を持つことから、$F(\eta)$ が区分的に連続であることが分かります。従って、$F(\eta)$ は有界であるから上限値を $M$ と置くと、$\delta\to0$ において、
$$\Big|\int_{-\delta}^\delta F(\eta)\sin{\lambda\eta}d\eta\Big|\lt 2\delta M\to0$$
これより(5)が成り立つこと、つまり(3)が成り立つことが分かります。次に、$f(x)$ が $x=x_0$ で不連続な場合は、以下のように $g(x)$ を定義すると、
$$g(x_0+\eta)\equiv\frac{f(x_0+\eta)+f(x_0-\eta)}{2}$$$$g(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$$
$g(x)$ は $x=x_0$ で連続であるから、(5)より、
$$g(x_0)=\lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi g(x_0+\eta)D_\lambda(\eta)d\eta -(6)$$
$D_\lambda(\eta)$ は偶関数であるため、
$$\int_{-\pi}^\pi f(x_0-\eta)D_\lambda(\eta)d\eta=\int_{-\pi}^\pi f(x_0+\eta)D_\lambda(\eta)d\eta$$
これを使うと、$g(x)$ の定義を代入した(6)から、⑧が得られることが分かります。
$$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}=\lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{f(x_0+\eta)+f(x_0-\eta)}{2}D_\lambda(\eta)d\eta$$$$=\lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x_0+\eta)D_\lambda(\eta)d\eta$$$$=\lim_{\lambda\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(\xi)D_\lambda(x-\xi)d\xi \to⑧$$
⑨の導出
ここで③の積分区間を分け、
$$\int_{-\infty}^\infty=\int_{-\infty}^{-a}+\int_{-a}^a+\int_a^\infty$$
右辺第３項について $x\lt a\lt\xi$ であるから、(1)より、
$$|D_\lambda(x-\xi)|\lt\frac{1}{\xi-x}\lt\frac{1}{a-x}$$
であるから、$a\to\infty$ のときに、
$$\left|\int_a^\infty f(\xi)D_\lambda(\xi-x)d\xi\right|\lt\frac{1}{a-x}\int_a^\infty|f(\xi)|d\xi \to0$$
右辺第１項についても同様に０になるので、⑨が成り立つことが分かります。
⑩の導出
$$G_l(k)\equiv\int_{-l}^ld\xi f(\xi)\cos{\Big(k(\xi-x)\Big)}$$
と置くと、$f(\xi)$ の積分が存在するため、$l\to\infty$ の場合、$\epsilon\to0$ となることが分かります。
$$|G_\infty(k)-G_l(k)\Big|=\left|\left(\int_{-\infty}^{-l}d\xi+\int_l^\infty d\xi\right)f(\xi)\cos{\Big(k(\xi-x)\Big)}\right|$$$$\lt\int_{-\infty}^{-l}d\xi|f(\xi)|+\int_l^\infty d\xi|f(\xi)|\lt\epsilon$$
従って、
$$\left|\int_0^\lambda dk G_l(k)-\int_0^\lambda dkG_\infty(k)\right|\lt\int_0^\lambda dk\Big|G_l(k)-G_\infty(k)\Big|$$$$\lt\int_0^\lambda dk\epsilon\lt\epsilon\lambda \to0$$
以上より、この左辺を書き換えると、⑩が得られることが分かります。
$$\lim_{l\to\infty}\Big(\int_0^\lambda dkG_l(k)\Big)=\int_0^\lambda dk\Big(\lim_{l\to\infty}G_l(k)\Big)$$
