アルヴェン波
アルヴェン波（Alfvén wave）は、磁場が存在するプラズマ中を伝わる磁気流体力学（MHD）の横波です。イメージとしては張ったギターの弦（＝磁力線）を弾いたときに伝わる波です。
アルヴェン波の特徴
- 凍結定理（磁力線の凍結効果）：
電気伝導度が高いプラズマ中では、磁力線とプラズマ粒子が束縛されて一緒に運動します。磁力線が張力として働き、プラズマの質量が慣性として働くことで波が伝播します。 - 伝播速度（アルヴェン速度）：
波が伝わる速度 $v_A$ は磁場の強さ $B$ に比例し、プラズマ密度 $\rho$ の平方根に反比例します。$\mu_0$ は真空の透磁率です。$$v_A = \frac{B}{\sqrt{\mu_0 \rho}} -①$$ - 低周波の横波：
進行方向に対して磁場およびプラズマの運動が垂直に振動します。
自然界でのアルヴェン波
- 太陽コロナ加熱問題：
太陽の表面（約6,000℃）よりも上空のコロナ（数百万℃）がなぜ高温なのかという問題において、アルヴェン波がエネルギーを地上から上空へ運んで加熱しているという説が有力視されています。 - 太陽風とオーロラ：
太陽から吹き出す太陽風の中を伝わり、地球の磁気圏に到達して磁気嵐やオーロラ活動の原因となります。 - 核融合炉（トカマク型など）：
高温プラズマの閉じ込めにおいて、アルヴェン波がプラズマの安定性や加熱効率に影響を与えます。
アルヴェン速度
アルヴェン波は以下のアルヴェン速度（位相速度）で伝搬します。
$$v_A = \frac{\omega}{k}= \frac{B}{\sqrt{\mu_0 \rho}} -①$$
位相速度 $\omega/k$ と群速度 $d\omega/dk$ が等しく定数 $v_A$ になるため、アルヴェーン波は分散のない（波形が崩れずに伝わる）横波であることが分かります。
アルヴェン速度の導出
アルヴェン波の分散関係 $\omega = k v_A$ およびアルヴェン速度 $v_A$ を、以下のMHD方程式を用いて導出します。
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- 連続の式：$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0$$
- 運動方程式：$$\rho\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \rho(\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} = -\nabla p + \boldsymbol{J} \times \boldsymbol{B}$$
- アンペールの法則：$$\boldsymbol{J} = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \boldsymbol{B}$$
- ファラデーの電磁誘導の法則：$$\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} = -\nabla \times {\bf E}$$$$\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} = 0$$
静止状態（定数）に微小な揺らぎ（摂動）が加わったとする 線形化（微小摂動法）を行います。
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- 密度：$\rho = \rho_0 + \rho_1$ （$\rho_0$ は定数、$\rho_1 \ll \rho_0$）
- 磁場：$\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}_0 + \boldsymbol{B}_1$ （$\boldsymbol{B}_0 = B_0 \hat{\boldsymbol{z}}$ 、$\boldsymbol{B}_1 = B_{1y} \hat{\boldsymbol{y}}$ 、$\boldsymbol{B}_1 \ll B_0$）
- 速度：$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}_1$ （$\boldsymbol{v}_1$ は微小量、$\boldsymbol{v}_1 = v_{1y} \hat{\boldsymbol{y}}$）
- 圧力：$p = p_0 + p_1$ （$p_0$ は定数、$p_1 \ll p_0$）
二次の微小項を無視してMHD方程式を線形化します。非圧縮性運動（$\nabla \cdot \boldsymbol{v}_1 = 0$）を仮定すると、圧力勾配項 $-\nabla p_1$ は消去または平行成分に分離できます。
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- 運動方程式の線形化：$$\rho_0 \frac{\partial \boldsymbol{v}_1}{\partial t} = -\nabla p_1 + \frac{1}{\mu_0} (\nabla \times \boldsymbol{B}_1) \times \boldsymbol{B}_0$$$$\rho_0 \frac{\partial v_{1y}}{\partial t} = \frac{B_0}{\mu_0} \frac{\partial B_{1y}}{\partial z} -(1)$$
- 誘導方程式の線形化：$$\frac{\partial \boldsymbol{B}_1}{\partial t} = \nabla \times (\boldsymbol{v}_1 \times \boldsymbol{B}_0)$$$$\frac{\partial B_{1y}}{\partial t} = B_0 \frac{\partial v_{1y}}{\partial z} -(2)$$
(1) の両辺を時間 $t$ で微分し、
$$\rho_0 \frac{\partial^2 v_{1y}}{\partial t^2} = \frac{B_0}{\mu_0} \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial B_{1y}}{\partial t} \right)$$
これに(2)を代入すると、波動方程式が得られます。
$$\frac{\partial^2 v_{1y}}{\partial t^2} = \frac{B_0^2}{\mu_0 \rho_0} \frac{\partial^2 v_{1y}}{\partial z^2}$$
$v_{1y}(z, t) = V_0 e^{i(kz – \omega t)}$ を代入すると、以下の分散関係式が導かれます。
$$\omega^2 = k^2 \left( \frac{B_0^2}{\mu_0 \rho_0} \right)$$
従って、位相速度（アルヴェン速度）は以下で得られます。
$$v_A = \frac{\omega}{k} = \frac{B_0}{\sqrt{\mu_0 \rho_0}}$$
