Ｄブレーンとは - 理数の散策路

Ｄブレーンと境界条件
Dpブレーンに接続する開弦
弦の質量

Ｄブレーンと境界条件

Dブレーンとは、弦の端点が持つことができる境界条件の自由度として導入されました。現在は、弦なども含む、広がりを持った物理的対象全般を表す語として使われます。尚、ブレーン（membrane）とは元々、膜（＝曲面）という意味を持ちます。

開弦の境界条件には、固定端（ディリクレ境界条件）と自由端（ノイマン境界条件）の２つがあります。尚、Dブレーンの「D」はディリクレ（Dirichlet）の頭文字を表します。

ディリクレ境界条件（弦の端点は時間 $\tau$ に対し一定）
⇒ブレーンに垂直な方向の座標（Ｄ座標）に適用。$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}(\tau,\sigma)\Big|_{\sigma=0}=\frac{\partial X^\mu}{\partial\tau}(\tau,\sigma)\Big|_{\sigma=\pi}=0$$$$X^\mu(\tau,0)=x_1^\mu　,　X^\mu(\tau,\pi)=x_2^\mu　　-①$$
ノイマン境界条件（弦の端点は位置 $\sigma$ に対し一定）
⇒ブレーンに正接する方向（接線方向）の座標（Ｎ座標）に適用。$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}(\tau,\sigma)\Big|_{\sigma=0}=\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}(\tau,\sigma)\Big|_{\sigma=\pi}=0　　-②$$

ディリクレ境界条件は、下図左のような弦の両端を特定する境界条件です。この端点は１点（０次元）に制約されているため、$D0$ ブレーンと呼ばれます。ノイマン境界条件は、下図右のような弦の両端が特定の方向に動く境界条件です。この端点は直線上（１次元）に制約されているため、$D1$ ブレーンと呼ばれます。

一般に、境界条件の自由度が $p$ 次元の場合は $Dp$ ブレーンと呼ばれます。このとき、空間次元を $d$（$d+1=26$）とすると、ブレーンに正接する $p$ 個の座標（ノイマン条件）とブレーンに垂直な $d-p$ 個の座標（ディレクレ条件）に分けられます。

ノイマン条件	ディリクレ条件
$X^0,X^1,\cdots,X^i,\cdots,X^p$	$X^{p+1},\cdots,X^j,\cdots,X^d$

Dpブレーンに接続する開弦

Dpブレーンが存在する場合の開弦の状態スペクトラムを求めます。以下、両端がDブレーンに正接する開弦（ノイマン条件）、両端がDブレーンに垂直な開弦（ディレクレ条件）、片方がDブレーンに正接し、もう片方が垂直な開弦（混合条件）の３つの場合に分けます。

ノイマン条件	混合条件	ディレクレ条件
$X^0,X^1,\cdots,X^i, \cdots,X^q$	$X^{q+1},\cdots,X^k, \cdots,X^p$	$X^{p+1},\cdots,X^j, \cdots,X^d$

ノイマン条件

ノイマン条件（Ｄブレーンに正接）での開弦のモード展開は以下になります。ここで $\mu\to i$ のように置き換えてきます。

$$X^i(\tau,\sigma)=x_0^i+\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^i\tau+i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\frac{\alpha_n^i}{n}e^{-in\tau}\cos{n\sigma}　　-③$$$$\dot{X}^i\pm X^{i’}=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^i e^{-in(\tau\pm\sigma)}　　-⓸$$

ディレクレ条件

ディレクレ条件（Ｄブレーンに垂直）のモード展開は以下になります。（⑤の導出）（⑥の導出）

$$X^j(\tau,\sigma)=x_1^j+(x_2^j-x_1^j)\frac{\sigma}{\pi}+\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\frac{\alpha_n^j}{n}e^{-in\tau}\sin{n\sigma}　　-⑤$$$$X^{j’}\pm \dot{X}^j=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\alpha_n^je^{-in(\tau\pm\sigma)}　　-⑥$$

⑤の導出

一般的な解は、任意の関数 $f,g$ により、以下で表すことができます。

$$X^j(\tau,\sigma)=\frac{1}{2}\Big(f^j(\tau+\sigma)+g^j(\tau-\sigma)\Big)　　-(1)$$

これに $\sigma=0$ でのディリクレ境界条件①を適用すると、

$$X^j(\tau,0)=\frac{1}{2}\Big(f^j(\tau)+g^j(\tau)\Big)=x_1^j$$

これより $g^j(\tau)=-f^j(\tau)+2x_1^j$ であるから、

$$X^j(\tau,\sigma)=x_1^j+\frac{1}{2}\Big(f^j(\tau+\sigma)-f^j(\tau-\sigma)\Big)　　-(2)$$

これに $\sigma=\pi$ でのディリクレ境界条件①を適用すると、

$$f^j(\tau+\pi)-f^j(\tau-\pi)=2(x_2^j-x_1^j)$$

これより $f(u)$ は周期 $2\pi$ の関数であるため、一般に以下のように表されます。

$$f^j(u)=f_0^j+\frac{x_2^j-x_1^j}{\pi}u+\sum_{n=1}^\infty(f_n^j\cos{nu}+g_n^j\sin{nu})$$

これを(2)に代入すると以下になります。ディリクレ境界条件の場合はノイマン境界条件と異なり、$\tau$ の１次の項は現れません。

$$X^j(\tau,\sigma)=x_1^j+(x_2^j-x_1^j)\frac{\sigma}{\pi}+\sum_{n=1}^\infty(g_n^j\cos{n\tau}-f_n^j\sin{n\tau})\sin{n\sigma}$$

$X^j$ の量子化のため、以下のように係数を再定義します。

$$X^j(\tau,\sigma)=x_1^j+(x_2^j-x_1^j)\frac{\sigma}{\pi}+\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\frac{\alpha_n^j}{n}e^{-in\tau}\sin{n\sigma}　　\to⑤$$

⑥の導出

⑤を $\tau$ で微分すると、

$$\dot{X}^j=-i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\alpha_n^je^{-in\tau}\sin{n\sigma}$$$$=-i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^je^{-in\tau}\sin{n\sigma}$$

⑤を $\sigma$ で微分すると、

$$X^{j’}=\frac{x_2^j-x_1^j}{\pi}+\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\alpha_n^je^{-in\tau}\cos{n\sigma}$$$$=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_n^je^{-in\tau}\cos{n\sigma}$$$$\sqrt{2\alpha’}\alpha_0^j\equiv\frac{x_2^j-x_1^j}{\pi}$$

これらより⑥が求められます。

$$X^{j’}\pm \dot{X}^j=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\ne0}\alpha_n^je^{-in(\tau\pm\sigma)}　　\to⑤$$

混合条件

混合条件のモード展開は以下になります。$\sigma=0$ でノイマン条件、$\sigma=\pi$ でディリクレ条件とします。（⑦の導出）（⑧の導出）

$$X^k(\tau,\sigma)=x_2^k+i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z_{odd}}\frac{2}{n}\alpha_{n/2}^ke^{-in\tau/2}\cos{\frac{n\sigma}{2}}　　-⑦$$$$\dot{X}^k\pm X^{k’}=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z_{odd}}\alpha_{n/2}^ke^{-in(\tau\pm\sigma)/2}　　-⑧$$

⑦の導出

一般的な解は、任意の関数 $f,g$ により、以下で表すことができます。

$$X^k(\tau,\sigma)=\frac{1}{2}\Big(f^k(\tau+\sigma)+g^k(\tau-\sigma)\Big)　　-(3)$$

これに $\sigma=0$ でのノイマン境界条件②を適用すると、

$$X^{j’}(\tau,0)=\frac{1}{2}\Big(f^{j’}(\tau)+g^{j’}(\tau)\Big)=0$$

これより $g^k(\tau)=f^k(\tau)+c_0^k$ であるから、

$$X^k(\tau,\sigma)=\frac{1}{2}\Big(f^k(\tau+\sigma)+f^k(\tau-\sigma)+c_0^k\Big)$$

これに $\sigma=\pi$ でのディリクレ境界条件①を適用すると、

$$X^k(\tau,\pi)=\frac{1}{2}\Big(f^k(\tau+\pi)+f^k(\tau-\pi)+c_0^k\Big)=x_2^k$$

ここで $c_0^2=2x_2^k$ と置くと、

$$X^k(\tau,\sigma)=x_2^k+\frac{1}{2}\Big(f^k(\tau+\sigma)+f^k(\tau-\sigma)\Big)　　-(4)$$$$f^k(\tau+\pi)=-f^k(\tau-\pi)$$

これより $f(u)$ は周期 $2\pi$ で反転する関数であるため、$n$ を奇数とし、一般に以下のように表されます。

$$f^k(u)=\sum_{n\in Z_{odd}^+}\Big(f_n^k\cos{\frac{nu}{2}}+g_n^k\sin{\frac{nu}{2}}\Big)$$

これを(4)に代入すると以下になります。

$$X^k(\tau,\sigma)=x_2^k+\sum_{n\in Z_{odd}^+}\Big(f_n^k\cos{\frac{n\tau}{2}}+g_n^k\sin{\frac{n\tau}{2}}\Big)\cos{\frac{n\sigma}{2}}$$

$X^k$ の量子化のため、以下のように係数を再定義します。

$$X^k(\tau,\sigma)=x_2^k+i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z_{odd}}\frac{2}{n}\alpha_{n/2}^ke^{-in\tau/2}\cos{\frac{n\sigma}{2}}　　\to⑦$$

⑧の導出

⑦を $\tau$ で微分すると、

$$\dot{X}^k=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z_{odd}}\alpha_{n/2}^ke^{-in\tau/2}\cos{\frac{n\sigma}{2}}$$

⑦を $\sigma$ で微分すると、

$$X^{k’}=-i\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z_{odd}}\alpha_{n/2}^ke^{-in\tau/2}\sin{\frac{n\sigma}{2}}$$

これらより⑧が求められます。

$$\dot{X}^k\pm X^{k’}=\sqrt{2\alpha’}\sum_{n\in Z_{odd}}\alpha_{n/2}^ke^{-in(\tau\pm\sigma)/2}　　\to⑧$$

弦の質量

弦の質量の２乗は、光円錐座標を使うと（導出）、

$$M^2=-p^2=2p^+p^- -p^Ip^I　　-⑨$$$$2p^+p^-=\frac{L_0^\bot}{\alpha’}=\frac{1}{2\alpha’}\sum_{n\in Z}\alpha_{-n}^I\alpha_n^I$$$$=\frac{1}{\alpha’}\Big(\frac{1}{2}\alpha_0^I\alpha_0^I+\frac{1}{2}\sum_{n\ne0}\alpha_{-n}^I\alpha_n^I\Big)　　-⑩$$

⑩をＤブレーンに接続する開弦に適用すると以下になります。尚、添え字 $i$ はノイマン条件、添え字 $j$ はディリクレ条件、添え字 $k$ は混合条件のそれぞれ座標を示します。（⑪の導出）

$$2p^+p^-=\frac{1}{\alpha’}\Big(\alpha’p^Ip^I+\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}^i\alpha_n^i+\sum_{m=1}^\infty\alpha_{-m}^j\alpha_m^j$$$$+\sum_{r\in Z_{odd}^+}\alpha_{-r/2}^k\alpha_{r/2}^k+\frac{p-q}{16}-1\Big)　　-⑪$$

次の演算子の関係式を使うと、

$$\alpha_n^I=a_n^I\sqrt{n}　　,　　\alpha_{-n}^I=a_n^{I\dagger}\sqrt{n}$$

弦の質量の２乗は以下で表されます。

$$M^2=\frac{1}{\alpha’}\Big(N^\bot+\frac{p-q}{16}-1\Big)　　-⑫$$$$N^\bot=\sum_{n=1}^\infty\sum_{i=2}^pna_n^{i\dagger}a_n^i+\sum_{m=1}^\infty\sum_{j=p+1}^dma_m^{j\dagger}a_m^j+\sum_{m\in Z_{odd}^+}\sum_{k=q+1}^p\frac{k}{2}a_{r/2}^{k\dagger}a_{r/2}^k$$

⑪の導出

⑩の左辺第２項を３つの境界条件で書き直すと、

$$\frac{1}{2}\sum_{n\ne0}\alpha_{-n}^I\alpha_n^I=\frac{1}{2}\sum_{n\ne0}\alpha_{-n}^i\alpha_n^i+\frac{1}{2}\sum_{m\ne0}\alpha_{-m}^j\alpha_m^j+\frac{1}{2}\sum_{r\in Z_{odd}}\alpha_{-r/2}^k\alpha_{r/2}^k　　-(5)$$

(5)の左辺第１項について、関係式

$$[\alpha_m^I,\alpha_n^J]=m\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}　　-(6)$$

を使うと、ノイマン条件が適用される座標の次元数は $q$ 個であるため（導出）、

$$\frac{1}{2}\sum_{n\ne0}^\infty\alpha_{-n}^i\alpha_n^i=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}^i\alpha_n^i+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\alpha_n^i\alpha_{-n}^i$$$$=\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}^i\alpha_n^i+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty[\alpha_n^i,\alpha_{-n}^i]$$$$=\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}^i\alpha_n^i+\frac{\eta^{ii}}{2}\sum_{n=1}^\infty n=\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}^i\alpha_n^i-\frac{q}{24}　　-(7)$$

尚、ここで以下の関係式を使っています。

$$\sum_{n=1}^\infty n=-\frac{1}{12}$$

(5)の左辺第２項について、同様に計算すると、ディリクレ条件が適用される座標の次元数は $24-p$ 個であるため、

$$\frac{1}{2}\sum_{m\ne0}^\infty\alpha_{-m}^j\alpha_m^j=\sum_{m=1}^\infty\alpha_{-m}^j\alpha_m^j-\frac{24-p}{24}　　-(8)$$

(5)の左辺第３項について、(6)を使うと、混合条件が適用される座標の次元数は $p-q$ 個であるため、

$$\frac{1}{2}\sum_{r\in Z_{odd}}\alpha_{-r/2}^k\alpha_{r/2}^k=\sum_{r\in Z_{odd}^+}\alpha_{-r/2}^k\alpha_{r/2}^k+\frac{1}{2}\sum_{r\in Z_{odd}^+}[\alpha_{r/2}^k,\alpha_{-r/2}^k]$$$$=\sum_{r\in Z_{odd}^+}\alpha_{-r/2}^k\alpha_{r/2}^k+\frac{\eta^{kk}}{4}\sum_{r\in Z_{odd}^+}r$$$$=\sum_{r\in Z_{odd}^+}\alpha_{-r/2}^k\alpha_{r/2}^k+\frac{p-q}{48}　　-(9)$$

尚、ここで以下の関係式を使っています。

$$\sum_{r\in Z_{odd}^+}r=-\sum_{r=1}^\infty r=\frac{1}{12}$$

(7)、(8)、(9)を(5)に代入すると、

$$\frac{1}{2}\sum_{n\ne0}\alpha_{-n}^I\alpha_n^I=\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}^i\alpha_n^i+\sum_{m=1}^\infty\alpha_{-m}^j\alpha_m^j+\sum_{r\in Z_{odd}^+}\alpha_{-r/2}^k\alpha_{r/2}^k$$$$+\frac{p-q}{16}-1$$

これを⑩に代入すると⑪が得られます。

尚、左辺第１項は以下の関係式を使っています。

$$\alpha_0^I=\sqrt{2\alpha’}p^I$$