ルジャンドル陪関数
ルジャンドル陪関数とは、ルジャンドル陪微分方程式の解として得られる関数です。ルジャンドル陪関数 $P_n^m$ は球面調和関数 $Y_n^m$ により以下で定義されます。
$$Y_n^m(\theta,\phi)=P_n^m(\cos{\theta})e^{im\phi} (-n\le m\le n) -①$$
以下の球面調和関数の母関数により
$$\Big(-\frac{x+iy}{2}t^2+zt+\frac{x-iy}{2}\Big)^n=\sum_{m=-n}^n\frac{(-1)^mn!}{(n+m)!}r^nY_n^m(\theta,\phi)t^{n+m} -②$$
ルジャンドル陪関数とルジャンドル関数 $P_n$ の関係は以下で表されます。（③の導出）
$$P_n^m(\cos{\theta})=\sin^m{\theta}\Big(\frac{d}{d\cos{\theta}}\Big)^mP_n(\cos{\theta}) -③$$$$P_n^0(\cos{\theta})=P_n(\cos{\theta})$$
ここで $\cos{\theta}=x$ と置くと以下のように書き変えられます。
$$P_n^m(x)=(1-x^2)^{m/2}\Big(\frac{d}{dx}\Big)^mP_n(x) -⓸$$
③を導く
（$x,y,z$）を極座標（$r,\theta,\phi$）に変換し、
$$x=r\sin{\theta}\cos{\phi}$$$$y=r\sin{\theta}\sin{\phi}$$$$z=r\cos{\theta}$$
$r=1$ 、$\phi=0$ と置いて書き替えると、
$$x+iy=re^{i\phi}\sin{\theta}=\sin{\theta}$$$$x-iy=re^{-i\phi}\sin{\theta}=\sin{\theta}$$
②に①に代入し、上記を使うと、
$$\Big(-\frac{\sin{\theta}}{2}t^2+t\cos{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{2}\Big)^n=\sum_{m=-n}^n\frac{(-1)^mn!}{(n+m)!}P_n^m(\cos{\theta})t^{n+m} -(1)$$
この左辺を $F(t)$ と置いて、これを $2n+1$ 個の項を持つテイラー展開で表すと、
$$F(t)=\sum_{k=0}^{2n}F^{(k)}(0)\frac{t^k}{k!}=\sum_{m=-n}^{n}F^{(m+n)}(0)\frac{t^{m+n}}{(m+n)!}$$
ここで最後の項は $k=m+n$ と置いています。この右辺と(1)を比べると、
$$(-1)^mn!P_n^m(\cos{\theta})=\left[\Big(\frac{d}{dt}\Big)^{m+n}\Big(-\frac{\sin{\theta}}{2}t^2+t\cos{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{2}\Big)^n\right]_{t=0} -(2)$$
ここで、$s\equiv\cos{\theta}-t\sin{\theta}$ と置くと、
$$\frac{d}{dt}=\frac{ds}{dt}\frac{d}{ds}=-\sin{\theta}\frac{d}{ds}$$$$-\frac{\sin{\theta}}{2}t^2+t\cos{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{2}=\frac{1-s^2}{2\sin{\theta}}$$
これらを (2) の右辺に代入すると、
$$(-1)^mn!P_n^m(\cos{\theta})=(-\sin{\theta})^{n+m}\Big(\frac{d}{ds}\Big)^{n+m}\left[\frac{(-1)^n(s^2-1)^n}{2^n\sin^n{\theta}}\right]_{s=\cos{\theta}}$$$$P_n^m(\cos{\theta})=\frac{\sin^m{\theta}}{2^nn!}\Big(\frac{d}{ds}\Big)^{n+m}\Big[(s^2-1)^n\Big]_{s=\cos{\theta}} -⑤$$
以下のロドリグの公式で $x=\cos{\theta}$ と置き、$2^nn!=(2n)!!$ であるから、
$$P_n(x)=\frac{1}{(2n)!!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$
③が得られます。
$$P_n^m(\cos{\theta})=\sin^m{\theta}\Big(\frac{d}{d\cos{\theta}}\Big)^mP_n(\cos{\theta}) \to③$$
ルジャンドル陪微分方程式
ルジャンドル陪関数は以下のルジャンドル陪微分方程式を満たします。（⑥の導出）
$$(1-x^2)\frac{d^2P_n^m}{dx^2}-2x\frac{dP_n^m}{dx}+\Big(n(n+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\Big)P_n^m=0 -⑥$$
⑥の導出
球面調和関数が満たす以下の微分方程式について、
$$\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial\theta}\Big(\sin{\theta}\frac{\partial Y_n}{\partial\theta}\Big)+\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2Y_n}{\partial\phi^2}+n(n+1)Y_n=0$$
これに①を代入すると、
$$\frac{1}{\sin{\theta}}\frac{d}{d\theta}\Big(\sin{\theta}\frac{dP_n^m}{d\theta}\Big)+\Big(n(n+1)-\frac{m^2}{\sin^2{\theta}}\Big)P_n^m=0$$
ここで $x=\cos{\theta}$ と置くと、$\sin{\theta}=\sqrt{1-x^2}$ 、$dx=-\sin{\theta}d\theta$ となるため、⑥が得られます。
$$\frac{d}{dx}\Big((1-x^2)\frac{dP_n^m}{dx}\Big)+\Big(n(n+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\Big)P_n^m=0$$
漸化式
ルジャンドル陪関数の漸化式をいくつか挙げます。（⑦の導出）（⑧の導出）（⑨の導出）
$$P_n^{-m}(\cos{\theta})=(-1)^m\frac{(n-m)!}{(n+m)!}P_n^m(\cos{\theta}) ₋⑦$$$$(2n+1)(1-x^2)^{1/2}P_n^m(x)=P_{n+1}^{m+1}(x)-P_{n-1}^{m+1}(x) -⑧$$$$(2n+1)xP_n^m(x)=(n+m)P_{n-1}^m(x)+(n-m+1)P_{n+1}^m(x) -⑨$$
⑦の導出
(1)の両辺を $t^n$ で割ると、
$$\Big(-\frac{\sin{\theta}}{2}t+\cos{\theta}+\frac{\sin{\theta}}{2t}\Big)^n=\sum_{m=-n}^n\frac{(-1)^mn!}{(n+m)!}P_n^m(\cos{\theta})t^m$$
ここで $t\to -1/t$ と置き換えても左辺は変わらないため、
$$\sum_{m=-n}^n\frac{(-1)^mn!}{(n+m)!}P_n^m(\cos{\theta})t^m=\sum_{m=-n}^n\frac{(-1)^mn!}{(n+m)!}P_n^m(\cos{\theta})(-t)^{-m}$$$$=\sum_{m=-n}^n\frac{(-1)^{-m}n!}{(n-m)!}P_n^{-m}(\cos{\theta})(-t)^m$$
右辺同士の $t^m$ の項を比べると⑦が得られます。
$$P_n^{-m}(\cos{\theta})=(-1)^m\frac{(n-m)!}{(n+m)!}P_n^m(\cos{\theta}) \to⑦$$
⑧の導出
以下のルジャンドルの多項式の漸化式を $m$ 回微分し、
$$(2n+1)P_n(x)=P_{n+1}’-P_{n-1}'(x)$$$$(2n+1)\Big(\frac{d}{dx}\Big)^mP_n=\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{m+1}P_{n+1}-\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{m+1}P_{n-1}$$
③を使うと⑧が得られます。
$$(2n+1)(1-x^2)^{1/2}P_n^m=P_{n+1}^{m+1}-P_{n-1}^{m+1} \to⑦$$
⑨の導出
以下のルジャンドルの多項式を $m$ 回微分し、
$$(n+1)P_{n+1}-(2n+1)xP_n+nP_{n-1}=0$$$$(n+1)\Big(\frac{d}{dx}\Big)^mP_{n+1}-m(2n+1)\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{m-1}P_n$$$$-(2n+1)x\Big(\frac{d}{dx}\Big)^mP_n+n\Big(\frac{d}{dx}\Big)^mP_{n-1}=0$$
③を使うと、
$$(n+1)P_{n+1}^m-m(2n+1)(1-x^2)^{1/2}P_n^{m-1}-(2n+1)xP_n^m+nP_{n-1}^m=0$$
一方、⑧で $m\to m-1$ と置き替えると、
$$(2n+1)(1-x^2)^{1/2}P_n^{m-1}(x)=P_{n+1}^m(x)-P_{n-1}^m(x)$$
これら２つの式よりの項を削除すると⑨が得られます。
$$(2n+1)xP_n^m(x)=(n+m)P_{n-1}^m(x)+(n-m+1)P_{n+1}^m(x) \to⑧$$
直交関係
ルジャンドル陪関数について以下の直交関係が成り立ちます。（⑩⑪の導出）
$$\int_{-1}^1P_n^m(x)P_l^m(x)dx=0 (n\ne l) -⑩$$$$\int_{-1}^1\big(P_n^m(x)\big)^2dx=\frac{2}{2n+1}\frac{(n+m)!}{(n-m)!} -⑪$$
⑩⑪の導出
⑤で $x=\cos{\theta}$ と置くと、
$$P_n^m(x)=\frac{(1-x^2)^{m/2}}{2^nn!}\Big(\frac{d}{ds}\Big)^{n+m}(x^2-1)^n$$
これにより以下の積分を計算します。
$$\int_{-1}^1P_n^{-m}(x)P_l^m(x)dx$$$$=\frac{1}{2^{n+l}n!l!}\int_{-1}^1\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-m}(x^2-1)^n\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{l+m}(x^2-1)^ldx$$
部分積分を行うと定積分は０になるため、部分積分を $m$ 回繰返し、
$$=\frac{1}{2^{n+l}n!l!}\left[\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-m}(x^2-1)^n\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{l+m-1}(x^2-1)^l\right]_{-1}^1$$$$-\frac{1}{2^{n+l}n!l!}\int_{-1}^1\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-m+1}(x^2-1)^n\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{l+m-1}(x^2-1)^ldx$$$$\cdots$$$$=\frac{(-1)^m}{2^{n+l}n!l!}\int_{-1}^1\Big(\frac{d}{dx}\Big)^n(x^2-1)^n\Big(\frac{d}{dx}\Big)^l(x^2-1)^ldx$$
ルジャンドル多項式のロドリグの公式と直交関係を使うと、$n=l$ の場合は、
$$\int_{-1}^1P_n^{-m}(x)P_l^m(x)dx=(-1)^m\int_{-1}^1P_n(x)P_l(x)dx=\frac{2(-1)^m}{2n+1}$$
次に⑦を使うと⑪が得られます。
$$\int_{-1}^1P_n^{-m}(x)P_l^m(x)dx=\frac{2}{2n+1}\frac{(n+m)!}{(n-m)!} (n=l) \to⑪$$
