【高校数学】三角関数・指数と対数

/高校数学

三角関数

弧度法

弧度法の定義は以下になります。

  • 180°= $\pi$ ラジアン、1ラジアン=180°/ $\pi$
  • 半径 $r$ 、中心角 $\theta$ の扇形の弧の長さを $l$ 、面積を $S$ とすると、
    $$l=r\theta$$$$S=\frac{1}{2}r^2\theta=\frac{1}{2}lr$$

三角関数の公式

三角関数の基本的な公式は以下になります。

$$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$$$$\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$$$1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}}$$

三角関数の性質

正弦関数と余弦関数は以下の性質を持ちます。三角関数の0、$\pi/2$ 、$\pi$ 、$3\pi/2$ 前後の書き換えは以下になります。

位相 正弦関数 余弦関数
$\sin{(\pm\theta)} =\pm\sin{\theta}$ $\cos{(\pm\theta)} =\cos{\theta}$
$\pi/2$ $\sin{(\pi/2\pm\theta)} =\cos{\theta}$ $\cos{(\pi/2\pm\theta)} =\mp\sin{\theta}$
$\pi$ $\sin{(\pi\pm\theta)} =\mp\sin{\theta}$ $\cos{(\pi\pm\theta)} =-\cos{\theta}$
$3\pi/2$ $\sin{(3\pi/2\pm\theta)} =-\cos{\theta}$ $\cos{(3\pi/2\pm\theta)} =\pm\sin{\theta}$
$2\pi$ $\sin{(2\pi\pm\theta)} =\sin{\theta}$ $\cos{(2\pi\pm\theta)} =\sin{\theta}$

正接関数は以下の性質を持ちます。

位相 正接関数
$\tan{(\pm\theta)} =\pm\tan{\theta}$
$\pi/2$ $\tan{(\pi/2\pm\theta)} =\mp1/\tan{\theta}$
$\pi$ $\tan{(\pi\pm\theta)} =\pm\tan{\theta}$

加法定理

三角関数の加法定理は以下で表されます。

$$\sin{(x\pm y)}=\sin{x}\cos{y}\pm\cos{x}\sin{y}$$$$\cos{(x\pm y)}=\cos{x}\cos{y}\mp\sin{x}\sin{y}$$$$\tan{(x\pm y)}=\frac{\tan{x}\mp\tan{y}}{1\mp\tan{x}\tan{y}}$$

また、加法定理より2倍角の公式は以下で、

$$\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x}$$$$\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}$$$$\tan{2x}=\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}$$

半角の公式は以下で、

$$\sin^2{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{2}$$$$\cos^2{\frac{x}{2}}=\frac{1+\cos{x}}{2}$$$$\tan^2{\frac{x}{2}}=\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}$$

和の公式は以下で表されます。

$$\sin{x}\pm\sin{y}=2\sin{\frac{x\pm y}{2}}\cos{\frac{x\mp y}{2}}$$$$\cos{x}+\cos{y}=2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}}$$$$\cos{x}-\cos{y}=-2\sin{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}$$

三角関数の合成

三角形の合成は以下で表されます。

$$a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\alpha)}$$$$\sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}  ,  \cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

指数関数・対数関数

指数法則

$p,q$ を有理数、$a,b\gt0$ とすると以下の関係が成り立ちます。

  • $a^pa^q=a^{p+q}$ 、$a^p/a^q=a^{p-q}$
  • $(a^p)^q=^{pq}$ 、$(ab)^p=a^pb^p$

累乗根

$m,n$ を正の整数、$a,b\gt0$ とすると以下の関係が成り立ちます。

  • $a^{m/n}={}^n\sqrt{a^m}$ 、$a^{-m/n}=1/({}^n\sqrt{a^m})$
  • $({}^n\sqrt{a})^n=a$ 、${}^n\sqrt{a}{}^n\sqrt{b}={}^n\sqrt{ab}$
  • ${}^m\sqrt{{}^n\sqrt{a}}={}^{mn}\sqrt{a}$ 、${}^n\sqrt{a^m}={}^{nl}\sqrt{a^{ml}}$

対数の性質

対数は以下で定義されます。

指数 対数
$a^x=y$ $x=\log_a{y}$
$a^0=1$ $0=\log_a{1}$
$a^1=a$ $1=\log_a{a}$
$a^x\cdot a^y = a^{x+y}$ $\log_a{xy}=\log_a{x}+\log_a{y}$
$$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$$ $$\log_a{\frac{x}{y}}=\log_a{x}-\log_a{y}$$
$a^y=x^b$($a^{y/b}=x$) $\log_a{x^b}=b\log_a{x}$

その他、対数関数には以下の関係式が成り立ちます。

$$\log_a{x}=\frac{\log_b{x}}{\log_b{a}}$$

 

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