ベクトルの公式

ベクトルの定義

２つのベクトル ${\bf a}\equiv\vec{a}=(a_1,a_2)$ 、${\bf b}\equiv\vec{b}=(b_1,b_2)$ について、

２つの点 $A(a_1,a_2)$ 、$B(b_1,b_2)$ について、

ベクトルには以下の関係が成り立ちます。

ベクトルの平行条件：
２つのベクトル ${\bf a},{\bf b}$ が平行（${\bf a}\parallel{\bf b}$）であるならば、
${\bf a}=k{\bf b}$ となる実数が存在する。
ベクトルの分解：
２つのベクトル ${\bf a},{\bf b}$ が平行でないならば、
任意のベクトルは ${\bf p}=s{\bf a}+t{\bf b}$ で表されます（ $s,t$ は実数）

２つのベクトル ${\bf a}=(a_1,a_2)$ 、${\bf b}=(b_1,b_2)$ の内積は以下になります。

内積の定義：
${\bf a}\cdot\vec{b}=|{\bf a}||{\bf b}|\cos{\theta}=a_1b_1+a_2b_2$
内積の性質：
${\bf a}\cdot{\bf b}={\bf b}\cdot{\bf a}$
${\bf a}\cdot{\bf a}=|{\bf a}|^2$
${\bf a}\cdot({\bf b}+{\bf c})={\bf a}\cdot{\bf b}+{\bf a}\cdot{\bf c}$
垂直条件：
２つのベクトルが垂直（${\bf a}\perp{\bf b}$）ならば、${\bf a}\cdot{\bf b}=0$（$a_1b_1+a_2b_2=0$）

スカラを $f(x,y,z)$ 、ベクトルを ${\bf A}(x,y,z)$ とすると、ベクトルの微分演算は以下で表されます。尚、ナブラ演算子は以下で定義します。

$$\nabla\equiv\Big(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\Big)$$

勾配（gradient）：$$\mathrm{grad}f=\nabla f=\Big(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\Big)$$
発散（divergence）：$$\mathrm{div}{\bf A}=\nabla\cdot{\bf A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$$
回転（rotation）：$$\mathrm{rot}{\bf A}=\nabla\times{\bf A}=\Big(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\Big)$$
ラプラス演算子（Laplacian）：$$\Delta f\equiv\mathrm{div}\, \mathrm{grad}f=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}$$

ベクトルの公式を以下に列記します。

${\bf A}\times({\bf B}\times{\bf C})=({\bf A}\cdot{\bf C}){\bf B}-({\bf A}\cdot{\bf B}){\bf C}$
${\bf A}\times({\bf B}\times{\bf C})+{\bf B}\times({\bf C}\times{\bf A})+{\bf C}\times({\bf A}\times{\bf B})=0$
$({\bf A}\times{\bf B})\cdot({\bf C}\times{\bf D})=({\bf A}\cdot{\bf C})({\bf B}\cdot{\bf D})-({\bf A}\cdot{\bf D})({\bf B}\cdot{\bf C})$
$({\bf A}\times{\bf B})\times({\bf C}\times{\bf D})=({\bf A}\times{\bf B}\cdot{\bf D}){\bf C}-({\bf A}\times{\bf B}\cdot{\bf C}){\bf D}$

$\nabla\times\nabla f=0$
$\nabla\cdot(\nabla\times{\bf A})=0$
$\nabla\times(\nabla\times{\bf A})=\nabla(\nabla\cdot{\bf A})-\Delta{\bf A}$
$\nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f$
$\nabla\cdot(f{\bf A})=(\nabla\,f)\cdot{\bf A}+f\nabla\cdot{\bf A}$
$\nabla\times(f{\bf A})=(\nabla\,f)\times{\bf A}+f\nabla\times{\bf A}$
$\nabla({\bf A}\cdot{\bf B})=({\bf A}\cdot\nabla){\bf B}+({\bf B}\cdot\nabla){\bf A}+{\bf A}\times(\nabla\times{\bf B})+{\bf B}\times(\nabla\times{\bf A})$
$\nabla\cdot({\bf A}\times{\bf B})=(\nabla\times{\bf A})\cdot{\bf B}-{\bf A}\cdot(\nabla\times{\bf B})$
$\nabla\times({\bf A}\times{\bf B})={\bf A}(\nabla\cdot{\bf B})-{\bf B}(\nabla\cdot{\bf A})+({\bf B}\cdot\nabla){\bf A}-({\bf A}\cdot\nabla){\bf B}$
$\Delta(fg)=f\Delta g+g\Delta f+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)$
$({\bf A}\cdot\nabla){\bf A}=\frac{1}{2}\nabla{\bf A}^2+(\nabla\times{\bf A})\times{\bf A}$