テイラー展開とは

/解析学

テイラー展開

テイラー展開とは、任意の関数を、その関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和(級数)として表したものです。

関数 $f(x)$ が区間($a,b$)で $n$ 回微分可能であれば、以下のように表すことができます。

$$f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f^{(2)}(a)+$$$$\cdots+\frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a)+R_n$$

$$R_n=\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(c)   (a\le c\le b)$$

導出

テイラー展開より、

$$f(b)-f(a)-\sum_{r=0}^{n-1}\frac{(b-a)^r}{r!}f^{(r)}(a)-\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(c)=0$$

ここで、$x=a$ として次の関数を定義し、

$$\phi(x)\equiv f(b)-f(x)-\sum_{r=0}^{n-1}\frac{(b-x)^r}{r!}f^{(r)}(x)-\frac{(b-x)^n}{n!}K$$

$a\le x\le b$ に対して以下が成り立つことを証明します。

$$K=f^{(n)}(x)  -①$$

証明にはロルの定理を使います。ロルの定理とは、関数 $y(x)$ が区間($a,b$)で微分可能であり、$y(a)=y(b)=0$ であれば、$y'(c)=0$ となる $c$($a\le c\le b$)が存在するというものです。

$\phi(x)$ については、定義より $\phi(a)=\phi(b)=0$ であり、微分を計算すると、

$$\phi'(x)=-\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!}[f^{(n)}(x)-K]$$

ロルの定理より $\phi'(x)=0$ であるから①が成り立つことが分かります。

マクローリン展開

マクローリン展開とは、関数 $f(x)$ の $x=0$ での導関数の値から計算される項の無限和として表したものです。テイラー展開から、$a=0$、$b=x$ として得ることができます。

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+$$$$\cdots+\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{(n-1)}+R_n$$

$$R_n=\frac{f^{(n)}(x)}{n!}x^n$$

初等関数の級数展開

マクローリン展開を使って初等関数を級数展開します。

指数関数

$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots$$

対数関数

$$\ln{(1+x)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots  (|x|<1)$$

三角関数

$$\sin{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\cdots$$

$$\cos{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots$$

双曲線関数

$$\sinh{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\cdots$$

$$\cosh{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots$$

 

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