静的ゲージとは

/弦理論

静的ゲージ

静的ゲージとは、時空間でのパラメタの付け替えにより、ある一定時刻における静的な弦を表します。ゲージを適切に選択することにより、運動方程式を簡単な形で表すことができます。

d次元の時空間 $x^\mu=(x^0,x^1,\cdots,x^d)$ での1次元の弦の場合、この弦の時空間での軌跡は、2次元の面(世界面)として表されます。世界面上の座標は2つのパラメタ($\tau,\sigma$)で指定することができ、これをパラメタ空間と呼びます。

パラメタ空間の点の時空間への写像を $X^\mu$(弦座標)は以下で表されます。

$$X^\mu=(X^0(\tau,\sigma),X^1(\tau,\sigma),\cdots,X^d(\tau,\sigma))$$

静的ゲージでは、$\tau=t$ と置くことで、

$$X^0(\tau,\sigma)\equiv ct=c\tau$$

のように書き換えられるため、弦座標は以下で表されます。

$$X^\mu(\tau,\sigma)=X^\mu(t,\sigma)=(ct,\vec{X}(t,\sigma))$$

このとき、弦座標の微分は以下で表されます。

$$\frac{\partial X^\mu}{\partial t}=\Big(c,\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)  -①$$

$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}=\Big(0,\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)  -②$$

横方向速度

横方向速度は、弦におけるパラメタ付け替え不変な速度です。

$ds$ を弦に沿った無限小区間の長さ($ds=|d\vec{X}|$)とすると、$\partial\vec{X}/\partial s$ は弦に正接している単位ベクトル(単位接線)になります。

任意のベクトル $\vec{u}$ について、単位ベクトル $\vec{n}$ に直交する成分は $\vec{u}-(\vec{u}\cdot\vec{n})\vec{n}$ であるため、これを $\partial\vec{X}/\partial t$ に当てはめると、垂直成分(横方向速度:$\vec{v}_\perp$)は以下で表されます。

$$\vec{v}_\perp=\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}$$

従って、横方向速度の2乗は以下になります。

$$\vec{v}_\perp^2=\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)^2$$

静的ゲージでの作用

静的ゲージと横方向速度を適用すると、以下の南部・後藤の作用

$$S=-\frac{T_0}{c}\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\sqrt{(\dot{X}^\mu  X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)(X^{\nu’} X’_\nu)}  -③$$

は、以下のように書き換えられます。

$$S=-T_0\int dt\int_0^{\sigma1}d\sigma\Big(\frac{ds}{d\sigma}\Big)\sqrt{1-\frac{\vec{v}_\perp^2}{c^2}}  -④$$

ラグラジアンは以下で表されます。

$${\mathcal L}=-T_0\int ds\sqrt{1-\frac{\vec{v}_\perp^2}{c^2}}$$

作用を導く

静的ゲージ($\tau=t$)と①と②より、

$$\dot{X}^\mu  X’_\mu=\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}$$

$$\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu=\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial t}\Big)^2=-c^2+\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2$$

$$X^{\nu’} X’_\nu=\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}\Big)^2=\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2$$

従って、③の根号の中は、$\partial\vec{X}/\partial s$ が単位ベクトルであることを留意すると、以下のように書き換えられます。

$$(\dot{X}^\mu  X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)(X^{\nu’} X’_\nu)$$

$$=\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2+\Big[c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2$$

$$=\Big(\frac{ds}{d\sigma}\Big)^2\Big[\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)^2+c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]$$

$$=\Big(\frac{ds}{d\sigma}\Big)^2(c^2-\vec{v}_\perp^2)$$

これを③に代入すると、静的ゲージでの作用(④)が導かれます。

静的ゲージでの運動量

作用を求めた場合と同様の書替えを行うと、弦の運動量は以下で表されます。

$$P^{\sigma\mu}=-\frac{T_0}{c^2}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\dot{X}^\mu+\Big[c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]\frac{\partial X^\mu}{\partial s}\right)$$$$P^{\tau\mu}=-\frac{T_0}{c^2}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\frac{\partial X^\mu}{\partial s}-\dot{X}^\mu\right)$$

 

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