ガウスの発散定理を導く

/解析学

ガウスの発散定理とは

ガウスの定理とは、ベクトル場 $A=(A_x,A_y,A_z)$ の任意の閉曲面上の面積分が、ベクトル場の発散(Divergence)の体積分に一致することを述べたものです。

$$\oint{\bf A}\cdot d{\bf S}=\int_V\nabla\cdot{\bf A}dV$$

ここで、ナブラ記号は以下で定義されます。

$$\nabla\equiv\Big(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\Big)$$

ガウスの発散定理を導く

以下のような微小立方体を考え、直感的に求めてみます。

x軸に垂直な面(yz面)は2つありますが、手前(プラス側)の面に垂直な単位ベクトルを ${\bf n}_x$ 、奥(マイナス側)の面に垂直な単位ベクトルを ${\bf n’}_x$ とします。他の4つの zx面と xy面も同様に考えると、立方体上の積分は6つの面の和で表すことができます。

 

$${\bf A}\cdot d{\bf S}={\bf A}\cdot({\bf n}_x+{\bf n’}_x+{\bf n}_y+{\bf n’}_y+{\bf n}_z+{\bf n’}_z)dS$$

簡単のため2つの yz面(1項目と2項目)を考えます。それぞれのベクトル場を ${\bf A}$ 、${\bf A}’$ とすると以下になります。

$${\bf A}\cdot({\bf n}_x+{\bf n’}_x)dS=(A_x-A’_x)dydz=\frac{A_x-A’_x}{\Delta x}\Delta xdydz$$

ここで△xは十分に小さいとすると以下になります。

$$\frac{A_x-A’_x}{\Delta x}\Delta xdydz=\frac{\partial A_x}{\partial x}dxdydz$$

zx面と xy面も同様に考えると以下になります。

$${\bf A}\cdot d{\bf S}=\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)dxdydz=\nabla\cdot{\bf A}dV$$

これにより、ガウスの発散定理が導けたことが分かります。

 

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