中心力の運動方程式を導く

力学

中心力とは

中心力(central force)とは、大きさは原点と物体の距離にのみ依存し、方向は原点と物体を結ぶ線に沿っている力です。中心力の例として、万有引力やクーロン力があります。中心力を式で表すと以下になります。

$${\bf F}({\bf r})=F(r)\frac{{\bf r}}{r}$$

中心力の特徴は以下になります。

保存場である

保存場とは、ポテンシャル(V)の負の勾配で表すことのできるベクトル場のことで、中心力が保存場となります。

$${\bf F}({\bf r})=-\nabla V({\bf r})$$

エネルギーが保存する

保存場の場合、質点のエネルギー $E$ は、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和で表されます。

$$E=\frac{1}{2}m\dot{\bf r}^2+V({\bf r})$$

これを時間微分し、保存場であることを考慮すると0になります。

$$\dot{E}=\dot{\bf r}\cdot(m\ddot{\bf r}+\nabla V({\bf r}))=0$$

角運動量が保存する

中心力により運動を行い場合、角運動量(${\bf l}={\bf r}\times{\bf p}$)は一定(保存量)となります。これは以下のように、角運動量の時間微分が0になることから分かります。尚、左辺の第2項は中心力の定義により0になります。

$$\dot{\bf l}=\dot{\bf r}\times(m\dot{\bf r})+{\bf r}\times(m\ddot{\bf r})=0$$

角運動量が保存されるため、質点は平面上の軌道を描きます。

中心力の運動方程式

ニュートンの運動方程式は、力を ${\bf F}=(F_x,F_y,F_z)$、加速度を ${\bf A}=(A_x,A_y,A_z)$ とすると以下になります。

$$F_x=mA_x  ,  F_y=mA_y  ,  F_x=mA_x$$

中心力による運動では、質点は平面上を運動するため、極座標 $(r,\theta,z)$ により書き直すことができます。中心力の定義より、r成分のみ、$F_r\ne 0$ となります。

$$F_r=mA_r=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)  -①$$

$$F_\theta=mA_\theta=\frac{m}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})=0  -②$$

$$F_z=0$$

②より、以下の角運動量($l$)は一定値(保存量)となります。

$$r^2\dot{\theta}=rV_\theta=\frac{l}{m}$$

つまり、中心力の場合、r成分のみの運動方程式(①)を解けばよいことになります。

運動方程式を導く

直交座標(x、y)と極座標(r、θ )の関係は以下で表されます。

$$x=r\cos{\theta}$$

$$y=r\sin{\theta}$$

両辺の時間微分すると、速度($V_x$、$V_y$ )が得られます。

$$V_x=\dot{x}=\dot{r}\cos{\theta}-r\dot{\theta}\sin{\theta}$$

$$V_y=\dot{y}=\dot{r}\sin{\theta}+r\dot{\theta}\cos{\theta}$$

再度両辺の時間微分すると、加速度($A_x$、$A_y$ )が得られます。

$$A_x=\ddot{x}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\cos{\theta}-(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\sin{\theta}$$

$$A_y=\ddot{y}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\sin{\theta}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\cos{\theta}$$

極座標表示の速度($V_r$、$V_\theta$ )は、($V_x$、$V_y$ )との関係から以下で表されます。

$$V_r=V_x\cos{\theta}+V_y\sin{\theta}=\dot{r}$$

$$V_\theta=-V_x\sin{\theta}+V_y\cos{\theta}=r\dot{\theta}$$

同様に、極座標表示の加速度($A_r$、$A_\theta$ )は、($A_x$、$A_y$ )との関係から以下で表されます。

$$A_r=A_x\cos{\theta}+A_y\sin{\theta}=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2$$

$$A_\theta=-A_x\sin{\theta}+A_y\cos{\theta}=\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})$$

これらにより、中心力の運動方程式である①と②が求められます。

 

力学
ニュートン力学、運動量&エネルギー、ケプラーの法則、オイラーの運動方程式、ハミルトンの原理、ラグランジュ方程式、ハミルトンの正準方程式
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