初等数学の公式 - 理数の散策路

方程式

剰余定理

剰余定理は以下で表されます。

整式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ である。
整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割ったときの余りは $P(-b/a)$ である。

因数定理

因数定理は以下で表されます。

整式 $P(x)$ が $x-a$ を因数にもつならば、$P(a)=0$
整式 $P(x)$ が $ax+b$ を因数にもつならば、$P(-b/a)=0$

３次方程式

３次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の３つの解を$\alpha, \beta, \gamma$ とすると、

$$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$$$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}$$$$\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}$$$$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$

不等式

不等式について以下の関係が成り立ちます。

$a\gt b$ ならは、$a-b\gt0$ 、$a^2\gt b^2$
コーシー・シュワルツの不等式：$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge(ax+by)^2$$$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\ge(ax+by+cz)^2$$
相加平均と相乗平均：
$a\gt0$ 、$b\gt0$ のとき以下の関係が成り立つ（等号は $a=b$ の場合）$$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$

２次関数

関数の形

２次関数の形は以下になります。

$y=a(x-p)^2+q$（$a\ne0$）のグラフ
頂点が（$p$ 、$q$）で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。
$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）のグラフ
頂点が以下で、$a\gt0$ なら下に凸、$a\lt0$ なら上に凸の放物線を表す。

$$y=a\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$$$\mbox{頂点：}\Big(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\Big)$$

解の公式

２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の公式は以下になります。

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

この２つの解を $\alpha,\beta$ とすると、

$$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$$$$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}　　,　　\alpha\beta=\frac{c}{a}$$

判別式

２次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、

- $D\gt0$ ならば、異なる２つの実数解をもつ。
- $D=0$ ならば、ただ１つの実数解（重根）をもつ。
- $D\lt0$ ならば、実数解をもたない。

２次関数 $y=ax^2+bx+c$ は、判別式 $D=b^2-4ac$ に対し、

- $D\gt0$ ならば、$x$ 軸と異なる２点で交わる。
- $D=0$ ならば、$x$ 軸と１点で接する。
- $D\lt0$ ならば、$x$ 軸と共有点をもたない。

数列

等差数列

初項 $a$ 、公差 $d$ 、末項 $b$ のとき、

一般項：$a_n=a+(n-1)d$
等差の中項：$a,b,c$ が等差数列であれば、$2b=a+c$
$n$ 項までの和 $S_n$（$=a_n+S_{n-1}$）：$$S_n=\frac{1}{2}n(a+b)=\frac{1}{2}n\Big(2a+(n-1)d\Big)$$

等比数列

初項 $a$ 、公差 $d$ のとき、

一般項：$a_n=ar^{n-1}$
等比の中項：$a,b,c$ が等差数列であれば、$b^2=ac$
$n$ 項までの和 $S_n$（$=a_n+S_{n-1}$）：$$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

階差数列

数列 $a_n$ の階差数列を $b_n$（$b_n=a_{n+1}-a_n$）とすると、

$$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_n　　(n\ge2)$$

数列の公式

$p,q$ が $k$ に無関係な定数とすると、

$$\sum_{k=1}^n(pa_k+qb_n)=p\sum_{k=1}^na_k+q\sum_{k=1}^nb_n$$

累乗の和は以下で表されます。

$$\sum_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1)$$$$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$$$\sum_{k=1}^nk^3=\Big(\frac{1}{2}n(n+1)\Big)^2$$

図形の性質

正弦定理

三角形 $ABC$ の各角に対する辺を $a,b,c$ とし、外接円の半径を $R$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

$$\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R$$

［左辺の導出］
点 $C$ から辺 $AB$ に下した垂線との交点を $C’$ とすると、$|CC’|=b\sin{A}=a\sin{B}$ より得られます。

［右辺の導出］
下左図は $C\lt\pi/2$ の場合です。$A$ から円の中心を通る線分を $AD$ とすると、$\angle ABD$ は直角であるため $c=2R\sin{\angle ADB}$ となります。円周角より $C=\angle ADB$ であるため、$c=2R\sin{\angle ADB}=2R\sin{C}$ が得られます。

上右図は $C\gt\pi/2$ の場合です。$A$ から円の中心を通る線分を $AD$ とすると、$\angle ABD$ は直角であるため $c=2R\sin{\angle ADB}$ となります。円に内接する四角形の対角は $C+\angle ADB=\pi$ であるため、$c=2R\sin{\angle ADB}=2R\sin{(\pi-C)}=2R\sin{C}$ が得られます。

余弦定理

三角形 $ABC$ の各角に対する辺を $a,b,c$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

1. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$
  $b^2=c^2+a^2-2ca\cos{B}$
  $c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$
2. $a=c\cos{B}+b\cos{C}$
  $b=a\cos{C}+c\cos{A}$
  $c=b\cos{A}+a\cos{B}$

［1. の導出］
各辺のベクトルを ${\bf a},{\bf b},{\bf c}$ で表わすと、${\bf a}={\bf b}-{\bf b}$ より、両辺を２乗すると得られます。
$|{\bf a}|^2=({\bf b}-{\bf c})^2=|{\bf b}|^2+|{\bf c}|^2-2{\bf b}\cdot{\bf c}=b^2+c^2-2bc\cos{A}$

［2. の導出］
点 $A$ から辺 $BC$ に下した垂線との交点を $A’$ とすると、$|BA’|=c\cos{B}$ 、$|CA’|=b\cos{C}$ となり、$|BA’|+|CA’|=a$ であることから得られます。

三角形の面積

三角形 $ABC$ の各角に対する辺を $a,b,c$ とすると、面積は以下で表されます。

$$S=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}$$

ヘロンの公式は、$2s=a+b+c$ と置くと以下で表されます。

$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

三角形の面積は、内接円の半径を $r$ とすると以下で表されます。

$$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$$

図形と方程式

点の座標

３点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ において、

内分点：線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点$$\Big(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\Big)$$
外分点：線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点$$\Big(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n}\Big)$$
重心：三角形の重心は、$$\Big(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\Big)$$

直線の方程式

直線の方程式は以下で表されます。

直線の方程式の一般形$$ax+by+c=0$$
点（$x_1,y_1$）を通り、傾き $a$ の直線の方程式$$y-y_1=a(x-x_1)$$
２点（$x_1,y_1$）､（$x_2,y_2$）を通る方程式$$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$$

距離と面積

２点間の距離：
２点 $(x_1,y_1)$ ､ $(x_2,y_2)$ 間の距離 $d$ は、$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$
点と直線の距離：
点 $(x_1,y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は、$$d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
三角形の面積：
原点と２点 $(x_1,y_1)$ ､ $(x_2,y_2)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ は、$$S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|$$

円の方程式

円の方程式は以下で表されます。

点 $(a,b)$ を中心とし、半径 $r$ の円の方程式は、$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
円の方程式の一般形は、$$x^2+y^2+lx+my+n=0　　(l^2+m^2-4n\gt0)$$
円周上の点を通る接点 $(x_1,y_1)$ の方程式は、$$x_1x+y_1y=r^2$$

曲線と方程式

楕円

楕円の方程式
中心は原点、長軸の長さは $2a$ 、短軸の長さは $2b$ 、焦点は $F(c,0)$ と $F'(-c,0)$ 、$c=\sqrt{a^2+b^2}$ 、曲線上の任意の点 $P$ について $PF+PF’=2a$$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1　(a,b\gt0)$$
曲線上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式$$\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$$
媒介変数表示$$x=a\cos{\theta}　,　y=b\sin{\theta}$$
$a=b$ の場合 ⇒ 円の方程式$$x^2+y^2=a^2$$$$x=a\cos{\theta}　,　y=a\sin{\theta}$$

放物線

放物線の方程式
頂点は原点、焦点は $F(p,0)$ 、準線は直線 $x=-p$ 、曲線は軸（ $x$ 軸）に対して対称。$$y^2=4px　(p\ne0)$$
曲線上の点 $(x_1,y_1)$ での接線の方程式$$y_1y=2p(x+x_1)$$
媒介変数表示$$x=pt^2　,　y=2pt$$

双曲線

双曲線の方程式
中心は原点、焦点は $F(c,0)$ と $F'(-c,0)$ 、$c=\sqrt{a^2+b^2}$ 、曲線上の任意の点 $P$ について $|PF-PF’|=2a$$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1　(a,b\gt0)$$
双曲線の漸近線$$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=0　,　\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0$$
曲線上の点 $(x_1,y_1)$ での接線の方程式$$\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1$$
媒介変数表示$$x=\frac{a}{\cos{\theta}}　,　y=b\tan{\theta}$$

極座標

極座標 $(r,\theta)$ と直交座標 $(x,y)$ の関係$$x=r\cos{\theta}　,　y=r\sin{\theta}$$$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$
２点 $A(a_1,\theta_1)$ と $B(r_2,\theta_2)$ の距離$$AB= \sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos{(\theta_2-\theta_1)}}$$
２点 $A(r_1,\theta_1)$ と $B(r_2,\theta_2)$ と極 $O$ の面積$$\Delta OAB= \frac{1}{2}r_1r_2|\sin{(\theta_2-\theta_1)}|$$

複素数

複素数 $z$ は虚数 $i$ と実数 $a$ 、$b$ により以下で定義されます。

$$z=a+bi$$

極形式

複素数 $z=a+bi$ を極形式で表すと以下になります。$$z= r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$$$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$$$\theta=\tan^{-1}{\frac{b}{a}}$$
極形式の乗法は以下になります。
$z_1$ に $z_2$ を掛けると、$z_1$ の原点からの距離 $r_2$ を倍し、角 $\theta_2$ 回転させる変換になります。$$z_1z_2= r_1r_2\Big(\cos{(\theta_1+\theta_2)}+i\sin{(\theta_1+\theta_2)}\Big)$$$$\arg{z_1z_2}=\arg{z_1}+\arg{z_2}$$
極形式の除法は以下になります。$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\Big(\cos{(\theta_1-\theta_2)}+i\sin{(\theta_1-\theta_2)}\Big)$$$$\arg{\frac{z_1}{z_2}}=\arg{z_1}-\arg{z_2}$$

ド･モアブルの定理

$n$ が整数のとき以下の関係が成り立ちます。$$(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n= \cos{n\theta}+i\sin{n\theta}$$
１の乗根は $n$ 個存在し、それを $z_k$（$k=0,1,\cdots,n-1$）とすると以下で表されます。$$z_k=\cos{\frac{2k\pi}{n}}+i\sin{\frac{2k\pi}{n}}$$

極限

数列の極限

$k\to\infty$ のとき $a_k\to\alpha$ 、$b_k\to\beta$ ならば、

$$\lim_{k\to\infty}(ma_k+nb_n)=m\alpha+n\beta$$$$\lim_{k\to\infty}a_kb_n=\alpha\beta$$$$\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=\frac{\alpha}{\beta}$$$$\lim_{k\to\infty}r^k=　\left\{\begin{array}{ll}
\infty & r\gt10 \\
1 & r=1 \\
0 & |r|\lt1 \\
\mbox{振動} & r\le-1 \end{array}\right.$$

無限級数

無限級数が収束する条件$$\sum_{k=1}^\infty a_k　\mbox{が収束}　\Leftrightarrow　\lim_{k\to\infty}a^k=0$$
特に無限等比級数の場合$$\sum_{k=1}^\infty a_k=\frac{a}{1-r}　(|r|\lt1)$$
循環小数の表示$$0.444\cdots=\sum_{k=1}^\infty\frac{4}{10}\Big(\frac{1}{10}\Big)^{k-1}=\frac{4}{10}\cdot\frac{1}{1-1/10}=\frac{4}{9}$$

関数の極限

$x\to a$ のとき $f(x)\to\alpha$ 、$g(x)\to\beta$ ならば、$$\lim_{x\to a}\Big(mf(x)+ng(x)\Big)= m\alpha+n\beta$$$$\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta$$$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}$$
対数関数の極限$$(a\gt 1)　\lim_{x\to\infty}\log_a{x}=\infty　,　\lim_{x\to+0}\log_a{x}=-\infty$$$$(0\lt a\lt 1)　\lim_{x\to\infty}\log_a{x}=-\infty　,　\lim_{x\to+0}\log_a{x}=\infty$$
三角関数の極限$$\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin{x}}=1$$$$\lim_{x\to0}\frac{\tan{x}}{x}=1$$