行列式の定義
行列式とは、正方行列の各行から１つずつ、互いに異なる列の成分を取り出して積を作り、その異なる組み合わせについて総和を取ったものです。歴史的には、連立一次方程式の解の存在を判定するために導入されました。
$n$ 次正方行列 $A$ の行列式は、$\mathrm{det}A$ または $|A|$ のように表記され、$A$ の成分 $a_{ij}$ によって以下のように定義されます。
$$\mathrm{det}A\equiv|A|\equiv\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)} -①$$
ここで $\sigma$ は数列 $(1,2,\cdots,n)$ の置換を表します。$S_n$ はその置換の集合を表し、$\sum$ は $S_n$ の $n!$ 個の要素数についての和を取ります。符号 $\mathrm{sgn}(\sigma)$ は、置換を互換の積で表した場合の互換の数 $k$ により、$\mathrm{sgn}(\sigma)=(-1)^k$ で表されます。
置換と互換
簡単な例として、$n=2$ の数列 $(1,2)$ の置換を考えます。この場合、$S_2$ の要素数は $2!=2$ 個になり、符号 $\mathrm{sgn}(\sigma)$ は以下のようになります。
| $S_2$ | 互換の積 | 互換数 | 符号 |
| $(1,2)$ | $(1,2)$ | $0$ | $(-1)^0=+1$ |
| $(2,1)$ | $(1,2)\to(2,1)$ | $1$ | $(-1)^1=-1$ |
次に、$n=3$ の数列 $(1,2,3)$ の場合は、$S_3$ の要素数は $3!=6$ 個になります。
| $S_3$ | 互換の積 | 互換数 | 符号 |
| $(1,2,3)$ | $(1,2,3)$ | $0$ | $(-1)^0=+1$ |
| $(1,3,2)$ | $(1,2,3)\to(1,3,2)$ | $1$ | $(-1)^1=-1$ |
| $(2,1,3)$ | $(1,2,3)\to(2,1,3)$ | $1$ | $(-1)^1=-1$ |
| $(2,3,1)$ | $(1,2,3)\to(2,1,3)\to(2,3,1)$ | $2$ | $(-1)^2=+1$ |
| $(3,1,2)$ | $(1,2,3)\to(1,3,2)\to(3,1,2)$ | $2$ | $(-1)^2=+1$ |
| $(3,2,1)$ | $(1,2,3)\to(1,3,2)\to(3,1,2)\to(3,2,1)$ | $3$ | $(-1)^3=-1$ |
簡単な行列式
２次正方行列の行列式の展開は以下になります。
$$\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$
３次正方行列の行列式の展開は以下になります。
$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|\left.\begin{array}{cc} = & a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\
& -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} \end{array}\right.$$
行列式の性質
行列式には以下のような性質があります。まず、１つ以外の成分が全て０である行（または列）をもつ行列式は、以下のように書き換えることができます。
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|=a_{11}
\left|\begin{array}{ccc} a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| -②$$
導出
定義式①で $a_{12}=\cdots=a_{1n}$ と置くと求められます。
$$|A|=\sum_\sigma\mathrm{sgn}(\sigma)a_{11}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}=a_{11}\sum_\sigma\mathrm{sgn}(\sigma)a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$$
上三角行列の行列式
上三角行列（または下三角行列）の行列式は、対角成分の積に等しくなります。
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} -③$$
転置行列の行列式
転置行列の行列式は、元の行列の行列式に等しくなります。
$$|A|=|A^t| -④$$
導出
数列 $(1,2,\cdots,n)$ の置換 $(\sigma(1),\sigma(2),\cdots,\sigma(n))$ の集合は、逆置換 $(\sigma^{-1}(1),\sigma^{-1}(2),\cdots,\sigma^{-1}(n))$ の集合に等しくなります。従って、①は $\sigma^{-1}=\tau$ と置き換えても成り立ち、さらに $\sigma(j)=i$ 、$\tau(i)=j$ とすると、
$$|A|=\sum_{\tau\in S_n}\mathrm{sgn}(\tau)\prod_{i=1}^na_{i\tau(i)}=\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}=|A^t|$$
ここで、以下の性質を利用しています。
$$\mathrm{sgn}(\sigma)=\mathrm{sgn}(\sigma^{-1})=\mathrm{sgn}(\tau)$$
行に関する多重線形性
行列式について多重線形性が成り立ちます。
- 行列の１つの式（または列）の各成分が２つの数の和であるとき、２つの行列式の和に分解できる。$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2} & \cdots & a_{in}+b_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$$$=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| -⑤$$ - 行列の１つの式（または列）の各成分を 定数倍して得られる行列式は、元の行列式の定数倍に等しい。$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
ca_{i1} & ca_{i2} & \cdots & ca_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|=c\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| -⑥$$
行に関する交換性
行列式の行（または列）を置換した行列式は、元の行列式にを掛けたものに等しくなります。
$$\left|\begin{array}{ccc} a_{\tau(1)1} & a_{\tau(1)2} & \cdots & a_{\tau(1)n} \\
a_{\tau(2)1} & a_{\tau(2)2} & \cdots & a_{\tau(2)n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{\tau(n)1} & a_{\tau(n)2} & \cdots & a_{\tau(n)n} \end{array}\right|=\mathrm{sgn}(\tau)\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| -⑦$$
この性質より、以下の２つのことが分かります。
- 行列式 $|A|$ の２つの行（または列）を入れ替えた行列式は $-|A|$ となる。
- 行列式は２つの行（または列）が一致すれば０となる。
導出
左辺の行列式を $D$ と置いて定義式で書き、$\sigma$ が $S_n$ 全体をカバーするとき $\sigma\tau$ も $S_n$ 全体をカバーしているため、以下のように書き換えることができます。
$$D=\sum_{\tau\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\tau(i)\sigma(i)}=\sum_{\tau\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma\tau)\prod_{i=1}^na_{\tau(i)\sigma\tau(i)}$$$$=\mathrm{sgn}(\tau)\sum_{\tau\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i\sigma(i)}=\mathrm{sgn}(\tau)|A|$$
途中、$\tau(i)\to i$ のように並び換え、置換の符号に関する以下の関係を使っています。
$$\mathrm{sgn}(\sigma\tau)=\mathrm{sgn}(\sigma)\mathrm{sgn}(\tau)$$
行列式の演算
行列式の積の分解
２つの正方行列について以下の式が成り立ちます。
$$|AB|=|A||B| -⑧$$
導出
行列 $A$ を列ベクトル ${\bf a}_j$ で表すと、
$$A=({\bf a}_1\cdots{\bf a}_j\cdots{\bf a}_n)$$$${\bf a}_j\equiv\left(\begin{array}{ccc} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{array}\right)$$
行列の積は以下で表されます。
$$AB=\left(\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\right)=\left(\sum_{j_1=1}^n{\bf a}_{j_1}b_{j_11}\cdots\sum_{j_n=1}^n{\bf a}_{j_n}b_{j_nn}\right)$$
この行列式は、多重線形性より、
$$|AB|=\left|\sum_{j_1=1}^n{\bf a}_{j_1}b_{j_11}\cdots\sum_{j_n=1}^n{\bf a}_{j_n}b_{j_nn}\right|$$$$=\sum_{j_1=1}^n\cdots\sum_{j_n=1}^nb_{j_11}\cdots b_{j_nn}\Big|{\bf a}_{j_1}\cdots {\bf a}_{j_n}\Big|$$
２つの列が同じ行列式は０になるで、$j_1\sim j_n$ が重複していない項のみ残り、次に ${\bf a}_1\sim{\bf a}_n$ となるように並び替えると、
$$|AB|=\sum_{\sigma\in s_n}b_{\sigma(1)1}\cdots b_{\sigma(n)n}\Big|{\bf a}_{\sigma(1)}\cdots {\bf a}_{\sigma(n)}\Big|$$$$=\sum_{\sigma\in s_n}b_{\sigma(1)1}\cdots b_{\sigma(n)n}\mathrm{sgn}(\sigma)\Big|{\bf a}_1\cdots {\bf a}_n\Big|=|B^t||A|=|A||B|$$
０成分がある場合の積の分解
$$A=\left(\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22} \end{array}\right) \mbox{または} A=\left(\begin{array}{cc} A_{11} & 0 \\
A_{21} & A_{22} \end{array}\right)$$
のとき、以下の式が成り立ちます。
$$|A|=|A_{11}||A_{22}| -⑨$$
導出
$A$ が前者の形をもつ場合で進めます。$A_{11}$ を $m$ 次正方行列、$A_{22}$ を $n$ 次正方行列とし、$B$ を $B=A_{11}^{-1}A_{12}$ で求められるの行列とします。このとき $A$ は以下のように書き替えられます。
$$A=\left(\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22} \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} A_{11} & 0 \\
0 & 1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\
0 & A_{22} \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} 1 & B \\
0 & 1 \end{array}\right)$$
両辺の行列式を取ると、$B$ を含む行列の行列式は１となるため、⑧の関係より⑨が得られます。
$$|A|=\left|\begin{array}{cc} A_{11} & 0 \\
0 & 1 \end{array}\right|
\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\
0 & A_{22} \end{array}\right|
\left|\begin{array}{cc} 1 & B \\
0 & 1 \end{array}\right|=|A_{11}||A_{12}|$$
余因子展開
正方行列は余因子 $A_{ij}$ により以下のように展開されます。
$$|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} -⑩$$
この余因子 $A_{ij}$ は、$A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ を掛けたものとして定義されます。
$$A_{ij}\equiv(-1)^{i+j}\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1\,j-1} & a_{1\,j+1} & \cdots & a_{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{i-1\,1} & \cdots & a_{i-1\,j-1} & a_{i-1\,j+1} & \cdots & a_{i-1\,n} \\
a_{i+1\,1} & \cdots & a_{i+1\,j-1} & a_{i+1\,j+1} & \cdots & a_{i+1\,n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{n\,j-1} & a_{n\,j+1} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right| -⑪$$
逆行列
行列 $A$ の余因子を $A_{ij}$ とすると、逆行列は以下で表されます。
$$(A^{-1})_{ij}=\frac{A_{ji}}{|A|} -⑫$$
ヤコビの公式（行列式の微分）
行列式の微分（変分）は以下で表されます。
$$\delta|A|=|A|\mathrm{tr}(A^{-1}\delta A) -⑬$$
⑬の導出
⑩の両辺を微分すると、余因子 $A_{ik}$ には $i$ 行の要素は含まれないため、
$$\delta|A|=\sum_{k=1}^n\Big(\frac{\partial a_{ik}}{\partial a_{ij}}A_{ik}+a_{ik}\frac{\partial A_{ik}}{\partial a_{ij}}\Big)\delta a_{ij}=A_{ij}\delta a_{ij}$$
これに⑫を使うと⑬が得られます。
$$\delta|A|=|A|(A^{-1})_{ji}\delta a_{ij}=|A|\mathrm{Tr}(A^{-1}\delta A)$$
この最後がトレースで表されることは以下のように示されます。行列の積を要素で表すと、
$$AB=\sum_ia_{ki}b_{ij}$$$$A^tB=\sum_ja_{ik}b_{ij}$$
このトレースをとると、
$$\mathrm{Tr}(A^tB)=\sum_j(A^tB)_{jj}=\sum_j\Big(\sum_ia_{ij}b_{ij}\Big)$$
