行列式とは - 理数の散策路

行列式の定義
行列式の性質
行列式の演算

行列式の定義

行列式とは、正方行列の各行から１つずつ、互いに異なる列の成分を取り出して積を作り、その異なる組み合わせについて総和を取ったものです。歴史的には、連立一次方程式の解の存在を判定するために導入されました。

$n$ 次正方行列 $A$ の行列式は、$\mathrm{det}A$ または $|A|$ のように表記され、$A$ の成分 $a_{ij}$ によって以下のように定義されます。

$$\mathrm{det}A\equiv|A|\equiv\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}　　-①$$

ここで $\sigma$ は数列 $(1,2,\cdots,n)$ の置換を表します。$S_n$ はその置換の集合を表し、$\sum$ は $S_n$ の $n!$ 個の要素数についての和を取ります。符号 $\mathrm{sgn}(\sigma)$ は、置換を互換の積で表した場合の互換の数 $k$ により、$\mathrm{sgn}(\sigma)=(-1)^k$ で表されます。

置換と互換

簡単な例として、$n=2$ の数列 $(1,2)$ の置換を考えます。この場合、$S_2$ の要素数は $2!=2$ 個になり、符号 $\mathrm{sgn}(\sigma)$ は以下のようになります。

$S_2$	互換の積	互換数	符号
$(1,2)$	$(1,2)$	$0$	$(-1)^0=+1$
$(2,1)$	$(1,2)\to(2,1)$	$1$	$(-1)^1=-1$

次に、$n=3$ の数列 $(1,2,3)$ の場合は、$S_3$ の要素数は $3!=6$ 個になります。

$S_3$	互換の積	互換数	符号
$(1,2,3)$	$(1,2,3)$	$0$	$(-1)^0=+1$
$(1,3,2)$	$(1,2,3)\to(1,3,2)$	$1$	$(-1)^1=-1$
$(2,1,3)$	$(1,2,3)\to(2,1,3)$	$1$	$(-1)^1=-1$
$(2,3,1)$	$(1,2,3)\to(2,1,3)\to(2,3,1)$	$2$	$(-1)^2=+1$
$(3,1,2)$	$(1,2,3)\to(1,3,2)\to(3,1,2)$	$2$	$(-1)^2=+1$
$(3,2,1)$	$(1,2,3)\to(1,3,2)\to(3,1,2)\to(3,2,1)$	$3$	$(-1)^3=-1$

簡単な行列式

２次正方行列の行列式の展開は以下になります。

$$\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

３次正方行列の行列式の展開は以下になります。

$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|\left.\begin{array}{cc} = & a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\
& -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} \end{array}\right.$$

行列式の性質

行列式には以下のような性質があります。まず、１つ以外の成分が全て０である行（または列）をもつ行列式は、以下のように書き換えることができます。

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|=a_{11}
\left|\begin{array}{ccc} a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|　　-②$$

導出

定義式①で $a_{12}=\cdots=a_{1n}$ と置くと求められます。

$$|A|=\sum_\sigma\mathrm{sgn}(\sigma)a_{11}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}=a_{11}\sum_\sigma\mathrm{sgn}(\sigma)a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$$

上三角行列の行列式

上三角行列（または下三角行列）の行列式は、対角成分の積に等しくなります。

$$|A|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}　　-③$$

転置行列の行列式

転置行列の行列式は、元の行列の行列式に等しくなります。

$$|A|=|A^t|　　-④$$

導出

数列 $(1,2,\cdots,n)$ の置換 $(\sigma(1),\sigma(2),\cdots,\sigma(n))$ の集合は、逆置換 $(\sigma^{-1}(1),\sigma^{-1}(2),\cdots,\sigma^{-1}(n))$ の集合に等しくなります。従って、①は $\sigma^{-1}=\tau$ と置き換えても成り立ち、さらに $\sigma(j)=i$ 、$\tau(i)=j$ とすると、

$$|A|=\sum_{\tau\in S_n}\mathrm{sgn}(\tau)\prod_{i=1}^na_{i\tau(i)}=\sum_{\sigma\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{j=1}^na_{\sigma(j)j}=|A^t|$$

ここで、以下の性質を利用しています。

$$\mathrm{sgn}(\sigma)=\mathrm{sgn}(\sigma^{-1})=\mathrm{sgn}(\tau)$$

行に関する多重線形性

行列式について多重線形性が成り立ちます。

行列の１つの式（または列）の各成分が２つの数の和であるとき、２つの行列式の和に分解できる。$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2} & \cdots & a_{in}+b_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|$$$$=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|　　-⑤$$
行列の１つの式（または列）の各成分を定数倍して得られる行列式は、元の行列式の定数倍に等しい。$$\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
ca_{i1} & ca_{i2} & \cdots & ca_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|=c\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|　　-⑥$$

行に関する交換性

行列式の行（または列）を置換した行列式は、元の行列式にを掛けたものに等しくなります。

$$\left|\begin{array}{ccc} a_{\tau(1)1} & a_{\tau(1)2} & \cdots & a_{\tau(1)n} \\
a_{\tau(2)1} & a_{\tau(2)2} & \cdots & a_{\tau(2)n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{\tau(n)1} & a_{\tau(n)2} & \cdots & a_{\tau(n)n} \end{array}\right|=\mathrm{sgn}(\tau)\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|　　-⑦$$

この性質より、以下の２つのことが分かります。

行列式 $|A|$ の２つの行（または列）を入れ替えた行列式は $-|A|$ となる。
行列式は２つの行（または列）が一致すれば０となる。

導出

左辺の行列式を $D$ と置いて定義式で書き、$\sigma$ が $S_n$ 全体をカバーするとき $\sigma\tau$ も $S_n$ 全体をカバーしているため、以下のように書き換えることができます。

$$D=\sum_{\tau\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{\tau(i)\sigma(i)}=\sum_{\tau\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma\tau)\prod_{i=1}^na_{\tau(i)\sigma\tau(i)}$$$$=\mathrm{sgn}(\tau)\sum_{\tau\in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i\sigma(i)}=\mathrm{sgn}(\tau)|A|$$

途中、$\tau(i)\to i$ のように並び換え、置換の符号に関する以下の関係を使っています。

$$\mathrm{sgn}(\sigma\tau)=\mathrm{sgn}(\sigma)\mathrm{sgn}(\tau)$$

行列式の演算

行列式の積の分解

２つの正方行列について以下の式が成り立ちます。

$$|AB|=|A||B|　　-⑧$$

導出

行列 $A$ を列ベクトル ${\bf a}_j$ で表すと、

$$A=({\bf a}_1\cdots{\bf a}_j\cdots{\bf a}_n)$$$${\bf a}_j\equiv\left(\begin{array}{ccc} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{array}\right)$$

行列の積は以下で表されます。

$$AB=\left(\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\right)=\left(\sum_{j_1=1}^n{\bf a}_{j_1}b_{j_11}\cdots\sum_{j_n=1}^n{\bf a}_{j_n}b_{j_nn}\right)$$

この行列式は、多重線形性より、

$$|AB|=\left|\sum_{j_1=1}^n{\bf a}_{j_1}b_{j_11}\cdots\sum_{j_n=1}^n{\bf a}_{j_n}b_{j_nn}\right|$$$$=\sum_{j_1=1}^n\cdots\sum_{j_n=1}^nb_{j_11}\cdots b_{j_nn}\Big|{\bf a}_{j_1}\cdots {\bf a}_{j_n}\Big|$$

２つの列が同じ行列式は０になるで、$j_1\sim j_n$ が重複していない項のみ残り、次に ${\bf a}_1\sim{\bf a}_n$ となるように並び替えると、

$$|AB|=\sum_{\sigma\in s_n}b_{\sigma(1)1}\cdots b_{\sigma(n)n}\Big|{\bf a}_{\sigma(1)}\cdots {\bf a}_{\sigma(n)}\Big|$$$$=\sum_{\sigma\in s_n}b_{\sigma(1)1}\cdots b_{\sigma(n)n}\mathrm{sgn}(\sigma)\Big|{\bf a}_1\cdots {\bf a}_n\Big|=|B^t||A|=|A||B|$$

０成分がある場合の積の分解

$$A=\left(\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22} \end{array}\right)　\mbox{または}　A=\left(\begin{array}{cc} A_{11} & 0 \\
A_{21} & A_{22} \end{array}\right)$$

のとき、以下の式が成り立ちます。

$$|A|=|A_{11}||A_{22}|　　-⑨$$

導出

$A$ が前者の形をもつ場合で進めます。$A_{11}$ を $m$ 次正方行列、$A_{22}$ を $n$ 次正方行列とし、$B$ を $B=A_{11}^{-1}A_{12}$ で求められるの行列とします。このとき $A$ は以下のように書き替えられます。

$$A=\left(\begin{array}{cc} A_{11} & A_{12} \\
0 & A_{22} \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} A_{11} & 0 \\
0 & 1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\
0 & A_{22} \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} 1 & B \\
0 & 1 \end{array}\right)$$

両辺の行列式を取ると、$B$ を含む行列の行列式は１となるため、⑧の関係より⑨が得られます。

$$|A|=\left|\begin{array}{cc} A_{11} & 0 \\
0 & 1 \end{array}\right|
\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\
0 & A_{22} \end{array}\right|
\left|\begin{array}{cc} 1 & B \\
0 & 1 \end{array}\right|=|A_{11}||A_{12}|$$