ルジャンドル多項式
ルジャンドル多項式とは、ルジャンドル方程式の特解として得られる多項式です。ルジャンドル方程式は以下で表され、
$$\frac{d}{dx}\Big((1-x^2)\frac{dy}{dx}\Big)+n(n+1)y=0 -①$$
ルジャンドル多項式は、以下のように定義されます。（②の導出）
$$P_n(x)=\frac{(2n-1)!!}{n!}\Big(x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-\cdots\Big)$$$$=\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k(2n-2k-1)!!}{(2k)!!(n-2k)!}x^{n-2k} -②$$
$$m=\left\{\begin{array}{ll}
n/2 & (n:\mbox{偶数}) \\
(n-1)/2 & (n:\mbox{奇数})\end{array} \right.$$
②の導出
以下の多項式を、
$$y=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_kx^k+\cdots -(1)$$
両辺を微分して $(1-x^2)$ を掛けると、
$$(1-x^2)y’=a_1+2a_2x+(3a_3-a_1)x^2+$$$$\cdots+\Big((k+1)a_{k+1}-(k-1)a_{k-1}\Big)x^k+\dots$$
これらを①に代入すると、
$$\Big(2a_2+n(n+1)a_0\Big)+\Big(2(3a_3-a_1)+n(n+1)a_1\Big)x+\cdots$$$$+\Big((k+1)(k+2)a_{k+2}-k(k+1)a_k+n(n+1)a_k\Big)x^k+\cdots=0$$
この各項の係数を０と置けば、
$$a_2=-\frac{n(n+1)}{2}a_0$$$$a_3=-\frac{(n+2)(n-1)}{3\cdot2}a_1$$$$\cdots$$$$a_{k-2}=-\frac{(n+k-3)(n-k+4)}{(k-2)(k-3)}a_{k-4} -(2)$$$$a_k=-\frac{(n+k-1)(n-k+2)}{k(k-1)}a_{k-2} -(3)$$$$a_{k+2}=-\frac{(n+k+1)(n-k)}{(k+2)(k+1)}a_k -(4)$$
(4)より $k=n$ と置くと $a_{n+2}=0$ となることから、最高次の項は $a_n$ となります。(2) と (3) より、
$$a_k=\frac{(n+k-1)(n-k+2)(n+k-3)(n-k+4)}{k(k-1)(k-2)(k-2)}a_{k-4} -(5)$$
(3) と (5) で $k=n$ と置くと、
$$a_n=-\frac{2(2n-1)}{n(n-1)}a_{n-2}$$$$a_n=\frac{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}{n(n-1)(n-2)(n-3)}a_{n-4}$$
ここで $a_n$ を以下で定義すると、
$$a_n\equiv\frac{(2n-1)!!}{n!}$$
これらより (1) は以下で表され、②と一致することが分かります。
$$y=\frac{(2n-1)!!}{n!}\Big(x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-\cdots\Big)$$
母関数
ルジャンドル多項式は、母関数 $(1-2tx+t^2)^{-1/2}$ の展開係数として以下のように定義することができます。（③の導出）
$$\frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}=P_0(x)+tP_1(x)+t^2P_2(x)+\cdots -③$$
③の導出
$|x|\lt1$ とすると二項定理は、
$$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3+\cdots$$
これを③の左辺に適用し、係数を書き換えると、
$$\Big(1-t(2x-t)\Big)^{-1/2}=1+\frac{1}{2}t(2x-t)+\frac{3}{8}t^2(2x-t)^2+\frac{5}{16}t^3(2x-t)^3+\cdots$$$$=1+\frac{1}{2}t(2x-t)+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}t^2(2x-t)^2+\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}t^3(2x-t)^3+\cdots$$$$=\sum_{r=0}^\infty\frac{(2r-1)!!}{(2r)!!}t^r(2x-t)^r$$
次に、この右辺で $t^k$ の項が存在するのは、$m=k,k-1,k-2,\cdots$ の項であるから、
$$(2x-t)^k=(2x)^k-k(2x)^{k-1}t+\frac{k(k-1)}{2}(2x)^{k-2}t^2+\cdots$$
を使い、$t^k$ の項をまとめると、
$$\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}(2x)^kt^k-\frac{(2k-3)!!}{(2k-2)!!}(k-1)(2x)^{k-2}t^k$$$$+\frac{(2k-5)!!}{(2k-4)!!}\frac{(k-2)(k-3)}{2}(2x)^{k-4}t^k+\cdots$$$$=\frac{(2k-1)!!2^k}{(2k)!!}\Big(x^k-\frac{k(k-1)}{2(2k-1)}x^{k-2}+\frac{k(k-1)(k-2)(k-3)}{(2k-1)(2k-3)2\cdot2^2}x^{k-4}+\cdots\Big)t^k$$
これは②と一致するため、③が成立つことが分かります。
ロドリグの公式
ルジャンドル多項式はロドリグの公式により表すことができます。（④の導出）
$$P_n(x)=\frac{1}{(2n)!!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n -④$$
④の導出
ロドリグの公式を導くため、次の展開式を使います。
$$(x^2-1)^n=x^{2n}-nx^{2n-2}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{2n-4}-\cdots$$
これに対し $n$ 回微分を繰返すと、
$$\frac{d}{dx}(x^2-1)^n=2nx^{2n-1}-n(2n-2)x^{2n-3}+\frac{n(n-1)(2n-4)}{2!}x^{2n-5}-\cdots$$$$\cdots$$$$\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n=\frac{(2n)!}{n!}x^n-\frac{n(2n-2)!}{(n-2)!}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(2n-4)!}{2!(n-4)!}x^{n-4}-\cdots$$
これを④の右辺に代入すると、
$$\frac{1}{(2n)!!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$$$=\frac{(2n)!}{n!(2n)!!}x^n-\frac{n(2n-2)!}{(n-2)!(2n)!!}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(2n-4)!}{2!(n-4)!(2n)!!}x^{n-4}-\cdots$$$$=\frac{(2n-1)!!}{n!}\Big(x^n-\frac{n(n-1)}{2(2n-1)}x^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot4(2n-1)(2n-3)}x^{n-4}-\cdots\Big)$$
これより①が導かれることが分かります。
直交関係
$P_m(x)$ は $m$ 次の多項式であるから、次の式が成り立ちます。（⑤の導出）
- $n\gt m\ge0$ または $m-n=$ 奇数$$\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=0$$
- $m=n$ または $m-n=$ 偶数$$\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{2\cdot m!}{(m-n)!!(m+n+1)!!} -⑤$$
これにより、ルジャンドル多項式の直交関係が導かれます。（⑥の導出）
$$\int_{-1}^1P_m(x)P_n(x)dx=0 (m\ne n)$$$$\int_{-1}^1\big(P_n(x)\big)^2dx=\frac{2}{2n+1} -⑥$$
⑤の導出
ロドリゲスの公式④を⑤の左辺に代入して部分積分を行うと、定積分は０になるため、
$$\int_{-1}^1x^m\Big(\frac{d}{dx}\Big)^n(x^2-1)^ndx$$$$=\left[x^m\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-1}(x^2-1)^n\right]_{-1}^1-m\int_{-1}^1x^{m-1}\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-1}(x^2-1)^ndx$$$$=-m\int_{-1}^1x^{m-1}\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-1}(x^2-1)^ndx$$
これを $k$ 回繰返すと、
$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{(-1)^km!}{(m-k)!}\int_{-1}^1x^{m-k}\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-k}(x^2-1)^ndx$$
$n\gt m$ のとき $k=m$ と置くと、
$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=(-1)^mm!\int_{-1}^1\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-m}(x^2-1)^ndx$$$$=(-1)^mm!\left[\Big(\frac{d}{dx}\Big)^{n-m-1}(x^2-1)^n\right]_{-1}^1=0$$
$m\gt n$ のとき $k=n$ と置くと、
$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{(-1)^nm!}{(m-n)!}\int_{-1}^1x^{m-n}(x^2-1)^ndx -(6)$$
$p$ と $q$ を０または正の整数とし、部分積分を $q$ 回繰返すと、
$$\int_{-1}^1x^p(x^2-1)^qdx=\left[\frac{x^{p+1}}{p+1}(x^2-1)^q\right]_{-1}^1-\int_{-1}^1\frac{x^{p+1}}{p+1}\cdot2qx(x^2-1)^{q-1}dx$$$$=-\frac{2q}{p+1}\int_{-1}^1x^{p+2}(x^2-1)^{q-1}dx$$$$=(-1)^2\frac{2^2q(q-1)}{(p+1)(p+3)}\int_{-1}^1x^{p+4}(x^2-1)^{q-2}dx$$$$\cdots$$$$=(-1)^q\frac{2^qq!}{(p+1)(p+3)\cdots(p+2q-1)}\int_{-1}^1x^{p+2q}dx$$
右辺の積分を計算すると、
$$\int_{-1}^1x^{p+2q}dx=\left[\frac{x^{p+2q+1}}{p+2q+1}\right]_{-1}^1=\left\{\begin{array}{ll}
0 & (p=\mbox{奇数}) \\
\frac{2}{p+2q+1} & (p=\mbox{偶数})\end{array} \right.$$
従って、
$$\int_{-1}^1x^p(x^2-1)^qdx=(-1)^q\frac{2^{q+1}q!}{(p+1)(p+3)\cdots(p+2q+1)}$$
$$=(-1)^q\frac{2(2q)!!(p-1)!!}{(p+2q+1)!!}$$
ここで $p=m-n$ 、$q=n$ と置くと (6) は、
$$(2n)!!\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{(-1)^nm!}{(m-n)!}\cdot(-1)^n\frac{2(2n)!!(m-n-1)!!}{(m+n+1)!!}$$
さらに $(m-n)!=(m-n)!!(m-n-1)!!$ であるから、
$$\int_{-1}^1x^mP_n(x)dx=\frac{2m!}{(m-n)!!(m+n+1)!!}$$
以上より、⑤が導かれることが分かります。
⑥の導出
②によりルジャンドル多項式の最高次の係数は $(2n-1)!!/n!$ であり、⑤を使うと⑥が得られます。
$$\int_{-1}^1\big(P_n(x)\big)^2dx=\frac{(2n-1)!!}{n!}\int_{-1}^1x^nP_n(x)dx$$$$=\frac{(2n-1)!!}{n!}\Big[\frac{2\cdot m!}{(m-n)!!(m+n+1)!!}\Big]_{m=n}=\frac{2}{2n+1}$$
漸化式
ルジャンドル多項式は以下の漸化式が成り立ちます。（⑦の導出）（⑧の導出）（⑨の導出）
$$(n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_n(x)+nP_{n-1}(x)=0 -⑦$$$$P_n(x)-P_{n-1}'(x)+2xP_n'(x)-P_{n+1}'(x)=0 -⑧$$$$(n+1)P_n(x)+xP_n'(x)-P_{n+1}'(x)=0 -⑨$$$$(2n+1)P_n(x)=P_{n+1}'(x)-P_{n-1}'(x) -⑩$$
⑩は⑧と⑨から $P_n’$ の項を消去することで得られます。
⑦の導出
③の両辺の対数を取り、微分すると、
$$-\frac{1}{2}\ln{(1-2tx+t^2)}=\ln{(P_0+tP_1+t^2P_2+\cdots)} -(7)$$$$\frac{x-t}{1-2tx+t^2}=\frac{P_1+2tP_2+\cdots+nt^{n-1}P_n+\cdots}{P_0+tP_1+\cdots+t^nP_n+\cdots}$$
両辺の $t^n$ の項を比較すると⑦が得られます。
$$(x-t)(\cdots+t^nP_n+t^{n-1}P_{n-1}+\cdots)$$$$=(1-2tx+t^2)\big(\cdots+(n+1)t^nP_{n+1}+nt^{n-1}P_n+(n-1)t^{n-2}P_{n-1}+\cdots\big)$$$$xt^nP_n-t^nP_{n-1}=(n+1)t^nP_{n+1}-2nxt^nP_n+(n-1)t^nP_{n-1}$$$$(n+1)P_{n+1}-(2n+1)xP_n+nP_{n-1}=0 \to⑦$$
⑧の導出
(7)の両辺を $x$ で微分すると、
$$\frac{t}{1-2tx+t^2}=\frac{P_0’+tP_1’+\cdots+t^nP_n’+\cdots}{P_0+tP_1+\cdots+t^nP_n+\cdots}$$
両辺の $t^{n+1}$ の項を比較すると⑧が得られます。
$$t(\cdots+t^nP_n+\cdots)=(1-2tx+t^2)(\cdots+t^{n+1}P_{n+1}’+t^nP_n’+t^{n-1}P_{n-1}’+\cdots)$$$$t^{n+1}P_n=t^{n+1}P_{n+1}’-2xt^{n+1}P_n’+t^{n+1}P_{n-1}’$$$$P_n-P_{n-1}’+2xP_n’-P_{n+1}’=0 \to⑧$$
⑨の導出
⑦を微分すると、
$$(n+1)P_{n+1}’-(2n+1)P_n-(2n+1)xP_n’+nP_{n-1}’=0$$
⑧に $n$ を掛けると、
$$nP_n-nP_{n-1}’+2nxP_n’-nP_{n+1}’=0$$
これら２式から $P_{n-1}’$ の項を消去すると⑨が得られます。
$$(n+1)P_n+xP_n’-P_{n+1}’=0 \to⑨$$
