ゲージ原理
ゲージ原理とは、ゲージ不変性を原理として理論に要求したもので、素粒子物理学における指導的原理です。ゲージ原理によりゲージ場の存在が要求され、ゲージ場と荷電粒子の相互作用が一意的に定まります。
ゲージ不変性
ゲージ不変性とは、ゲージ変換によって物理法則が不変に保たれることで、大域的不変性と局所的不変性があります。
大域的不変性
大域的不変性とは、大域的ゲージ変換（場所に依存しない変換）について物理法則が不変に保たれることです。ここで $\Lambda$ は任意の実定数です。大域的不変性は、宇宙の全ての場所で一斉に同じ位相変換に対する不変性を表しています。
$$\psi(x) \to \psi'(x)=e^{-i\Lambda}\psi(x) -①$$
微分 $\partial_\mu\psi$ は大域的ゲージ変換に対し不変に保たれます。
$$\left.\begin{array}{cc} \partial_\mu\psi(x) \to \partial_\mu\psi'(x) & =\partial_\mu\big(e^{-i\Lambda}\psi(x)\big) \\
& =e^{-i\Lambda}\big(\partial_\mu\psi(x)\big) \end{array}\right.$$$$\partial_\mu\equiv\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$
局所的不変性
局所的不変性とは、局所的ゲージ変換（場所に依存する変換）について物理法則が不変に保たれることです。ここで $q$ は電荷、$\Lambda(x)$ は任意の実関数です。局所的不変性は、場所ごとの位相変換に対する不変性を表しているため、光速度の有限性の観点から自然な考え方になります。
$$\psi(x) \to \psi'(x)=e^{-iq\Lambda(x)}\psi(x) -②$$
微分 $\partial_\mu\psi$ は局所的ゲージ変換に対し不変ではありません。
$$\left.\begin{array}{cc} \partial_\mu\psi(x) \to \partial_\mu\psi'(x) & =\partial_\mu\big(e^{-iq\Lambda(x)}\psi(x)\big) \\
& =e^{-iq\Lambda(x)}\big(\partial_\mu-iq\partial_\mu\Lambda(x)\big)\psi(x) \end{array}\right.$$
ゲージ共変微分
ゲージ共変微分 $D_\mu$ は、自由度としてゲージ場 $A_\mu(x)$ を導入することにより、以下で定義されます。
$$D_\mu\equiv\partial_\mu+iqA_\mu(x) -③$$
これにより、ゲージ共変微分は局所的ゲージ変換に対し不変に保たれます。
$$D_\mu\psi(x) \to D_\mu’\psi'(x)=e^{-iq\Lambda(x)}\big(D_\mu\psi(x)\big) -⓸$$$$D_\mu’=\partial_\mu+iqA_\mu'(x)$$
この局所的不変性の要請より、ゲージ場は以下のような変換性を持ちます。（⑤の導出）
$$A_\mu(x) \to A_\mu'(x)=A_\mu(x)+\partial_\mu\Lambda(x) -⑤$$
⑤の導出
⓸の左辺を計算すると、
$$D_\mu’\psi'(x)=\big(\partial_\mu+iqA_\mu'(x)\big)\big(e^{-iq\Lambda(x)}\psi(x)\big)$$$$=e^{-iq\Lambda(x)}\big(\partial_\mu-iq\partial_\mu\Lambda(x)+iqA_\mu'(x)\big)\psi(x)$$
⓸の右辺を計算すると、
$$e^{-iq\Lambda(x)}\big(D_\mu\psi(x)\big)=e^{-iq\Lambda(x)}\big(\partial_\mu+iqA_\mu(x)\big)\psi(x)$$
これらは等しくなるので⑤が得られます。
$$A_\mu'(x)=A_\mu(x)+\partial_\mu\Lambda(x) \to⑤$$
方程式のゲージ不変性
マクスウェル方程式とディラック方程式のゲージ不変性を示します。
マクスウェル方程式
磁場 ${\bf B}$ と電場 ${\bf E}$ は、ベクトルポテンシャル ${\bf A}$ とスカラーポテンシャル $\phi$ から以下で得られます。
$${\bf B}=\nabla\times{\bf A} -⑥$$$${\bf E}=-\frac{\partial{\bf A}}{\partial t}-\nabla\phi -⑦$$
ここでゲージ場を以下で定義すると、
$$A^\mu=\Big(\frac{\phi}{c},A_x,A_y,A_z\Big)$$$$A_\mu=g_{\mu\nu}A^\nu=\Big(-\frac{\phi}{c},A_x,A_y,A_z\Big)$$
ゲージ変換は同様に以下で与えられます。
$$A_\mu(x) \to A_\mu'(x)=A_\mu(x)+\partial_\mu\Lambda(x) -⑤$$
このゲージ変換をベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルで表すと、
$${\bf A} \to {\bf A}’={\bf A}+\nabla\Lambda$$$$\phi \to \phi’=\phi-\frac{\partial\Lambda}{\partial t}$$
この変を⑥の磁場と⑦の電場に代入すると、不変に保たれることが分かります。
ディラック方程式
電磁場がある場合のディラック方程式（$c=\hbar=1$）は、
$$\Big(i\gamma^\mu\big(\partial_\mu+iqA_\mu(x)\big)-m\Big)\psi(x)=0 -⑧$$
以下のゲージ変換を行うと、
$$\psi(x) \to \psi'(x)=e^{-iq\Lambda(x)}\psi(x) -②$$$$A_\mu(x) \to A_\mu'(x)=A_\mu(x)+\partial_\mu\Lambda(x) -⑤$$
以下のようにディラック方程式は不変に保たれることが分かります。（⑨の導出）
$$\Big(i\gamma^\mu\big(\partial_\mu+iqA_\mu'(x)\big)-m\Big)\psi'(x)=0$$$$\to e^{-iq\Lambda(x)}\Big(i\gamma^\mu\big(\partial_\mu+iqA_\mu(x)\big)-m\Big)\psi(x)=0 -⑨$$
⑨の導出
⑧にゲージ変換を行うと⑨の右辺が得られます。
$$\Big(i\gamma^\mu\big(\partial_\mu+iqA_\mu'(x)\big)-m\Big)\psi'(x)$$$$=\Big(i\gamma^\mu\big(\partial_\mu+iqA_\mu(x)+iq\partial_\mu\Lambda(x)\big)-m\Big)e^{-iq\Lambda(x)}\psi(x)$$$$=e^{-iq\Lambda(x)}\Big(i\gamma^\mu\big(e^{iq\Lambda(x)}\partial_\mu e^{-iq\Lambda(x)}+iqA_\mu(x)+iq\partial_\mu\Lambda(x)\big)-m\Big)\psi(x)$$$$=e^{-iq\Lambda(x)}\Big(i\gamma^\mu\big(\partial_\mu+iqA_\mu(x)\big)-m\Big)\psi(x)$$
最後は以下の関係を使っています。
$$e^{iq\Lambda(x)}\partial_\mu e^{-iq\Lambda(x)}\psi(x)=\partial_\mu\psi(x)-iq\big(\partial_\mu\Lambda(x)\big)\psi(x)$$
SU(N)ゲージ理論
$SU(N)$ は N×N の特殊ユニタリ変換（ゲージ変換）を表します。$SU(1)$ の場合のゲージ変換は $U=e^{-iq\Lambda}$ ですが、$SU(N)$ の場合は一般に N×N の行列で表されます。
ゲージ不変性
局所的変換は N×N の特殊ユニタリ変換 $U(x)$ により以下のように表されます。
$$\Psi(x) \to \Psi'(x)=U(x)\Psi(x) -⑩$$
$U(x)$ は特殊ユニタリ群 $G_{SU(N)}$ の任意の元です。$\Lambda(x)$ がエルミート $\Lambda(x)=\Lambda^\dagger(x)$ とトレースレス $\mathrm{tr}\Lambda(x)=0$ の条件を満たすＮ×Ｎ複素行列で、⑪の関係が成り立つ場合、$G_{SU(N)}$ はリー群と呼ばれ、$\Lambda(x)$ はリー代数に従います。
$$U(x)=e^{-iq\Lambda(x)} -⑪$$
任意の$\Lambda(x)$ は $N^2-1$ 個のリー代数の基底行列 $T^j$ の和で表すことができます。
$$\Lambda(x)=\sum_{j=1}^{N^2-1}\lambda^j(x)T^j -⑫$$
微分 $\partial_\mu$ は局所的ゲージ変換に対し不変ではありません。
$$\partial_\mu\Psi'(x)=\partial_\mu\big(U(x)\Psi(x)\big)$$$$=U(x)\Big(\partial_\mu+U^{-1}(x)\big(\partial_\mu U(x)\big)\Big)\Psi(x)$$
ゲージ共変微分
ゲージ共変微分 $D_\mu$ は、自由度としてゲージ場 $A_\mu(x)$ を導入することにより、以下で定義されます。ここで $A_\mu(x)$ はＮ×Ｎ行列で、$\partial_\mu$ はＮ×Ｎ対角行列です。
$$D_\mu\equiv\partial_\mu+iqA_\mu(x) -③$$
これにより、ゲージ共変微分は局所的ゲージ変換に対し不変に保たれます。
$$D_\mu\psi(x) \to D_\mu’\Psi'(x)=U(x)\big(D_\mu\Psi(x)\big) -⑬$$$$D_\mu’=\partial_\mu+iqA_\mu'(x)$$
この局所的不変性の要請より、ゲージ場は以下のような変換性を持ちます。（⑭の導出）
$$A_\mu'(x)=U(x)A_\mu(x)U^{-1}(x)+\frac{i}{q}\big(\partial_\mu U(x)\big)U^{-1}(x) -⑭$$
この右辺第２項は $G_{SU(N)}$ のリー代数であるから、$A_\mu(x)$ はリー代数になり、エルミートとトレースレスの条件を満たすＮ×Ｎ複素行列で表されます。
$$A_\mu(x)=A_\mu^\dagger(x)$$$$\mathrm{tr}A_\mu(x)=0$$
このとき $A_\mu(x)$ は $N^2-1$ 個のリー代数の基底行列 $T^j$ の和で表すことができます。
$$A_\mu(x)=\sum_{j=1}^{N^2-1}\alpha_\mu^j(x)T^j -⑮$$
⑭の導出
⑬の左辺を計算すると、
$$D_\mu’\Psi'(x)=\big(\partial_\mu+iqA_\mu'(x)\big)\big(U(x)\Psi(x)\big)$$$$=U(x)\Big(\partial_\mu+U^{-1}(x)\big(\partial_\mu U(x)\big)+iqU^{-1}(x)A_\mu'(x)U(x)\Big)\Psi(x)$$
⑬の右辺を計算すると、
$$U(x)\big(D_\mu\Psi(x)\big)=U(x)\big(\partial_\mu+iqA_\mu(x)\big)\Psi(x)$$
これらは等しくなるので⑭が得られます。
$$A_\mu'(x)=U(x)A_\mu(x)U^{-1}(x)+\frac{i}{q}\big(\partial_\mu U(x)\big)U^{-1}(x) \to⑭$$
Ｎ成分ディラック方程式
Ｎ成分のディラック方程式（$c=\hbar=1$）は以下で表されます。ここで $\gamma^\mu$ は４×４のディラック行列です。ディラック方程式は大域的変換に対し不変に保たれます。
$$[i\gamma^\mu\partial_\mu-m]\Psi(x)=0 -⑯$$
⑯は実際には以下のような行列の形を持ちます。
$$\left(\begin{array}{ccc} i\gamma^\mu\partial_\mu-m & 0 & \cdots & 0 \\
0 & i\gamma^\mu\partial_\mu-m & & \vdots \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & i\gamma^\mu\partial_\mu-m \end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc} \psi_1(x) \\ \psi_2(x) \\ \vdots \\ \psi_N(x) \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)$$
ディラック方程式を $G_{SU(N)}$ ゲージ不変性（局所的不変性）を持つように拡張すると以下で表されます。
$$[i\gamma^\mu D_\mu-m]\Psi(x)=0 -⑰$$
これが $G_{SU(N)}$ ゲージ不変性をもつことは⑬により以下のように示されます。
$$[i\gamma^\mu D_\mu’-m]\Psi'(x)=0$$$$\to U(x)[i\gamma^\mu D_\mu-m]\Psi(x)=0$$
