ガンマ関数
ガンマ関数とは、階乗 $n!$ の概念を複素数全体に拡張した特殊関数です。ガンマ関数 $\Gamma(s)$ は、次の式で定義されます。
$$\Gamma(s)\equiv\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx (s\gt0) -①$$
ガンマ関数には、階乗の性質をそのまま受け継ぐ数学的構造があります。
- $s=1$ の場合：
定義より以下が得られます。$$\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}dx=1 -②$$ - 基本漸化式：
この性質を利用することで、定義域を実部が負の領域（負の整数を除く）へと順次拡張（解析接続）することができます（③の導出）。$$\Gamma(s+1) =s\Gamma(s) -③$$ - 階乗の拡張：
②と③より、正の整数 $n$ に対して、ガンマ関数の値は１つ前の数の階乗に一致します。$$\Gamma(n) = (n-1)! -④$$
③を導く
①について部分積分を行うと、
$$\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}dx=\Big[-e^{-x}x^{s-1}\Big]_0^\infty+(s-1)\int_0^\infty e^{-x}x^{s-2}dx$$
第１項については、$s\gt0$ ならば $x=0$ で０となり、また、
$$\lim_{x\to\infty}e^{-x}x^{s-1}=0$$
より、$x=\infty$ でも０となるため第２項が残ります。従って、③が得られます。
$$(s-1)\int_0^\infty e^{-x}x^{s-2}dx=(s-1)\Gamma(s-1)$$
主要な公式
ガンマ関数では以下の関係が成り立ちます（⑤の導出）（⑥の導出）。
$$\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)=\sqrt{\pi} -⑤$$$$\Gamma\Big(n+\frac{1}{2}\Big)=\frac{(2n-1)!!\sqrt{\pi}}{2^n} -⑥$$
⑤と③を利用すると、$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ のように、半整数のガンマ関数も次々と計算できます。
⑤を導く
⑤の左辺について、$x=\xi^2$ 、$dx=2\xi d\xi$ と置くと、
$$\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)=\int_0^\infty e^{-x}x^{-1/2}dx=2\int_0^\infty e^{-\xi^2}d\xi -(1)$$
一方、$e^{-(x^2+y^2)}$ の $x\ge0$ 、$y\ge0$ での積分を考えます。これを極座標 $(r,\theta)$ に置き換えると、$dxdy=rdrd\theta$ より、
$$\int_0^\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^\infty e^{-r^2}rdr$$$$=\frac{\pi}{2}\Big[-\frac{e^{-r^2}}{2}\Big]_0^\infty=\frac{\pi}{4} -(2)$$
(2)の左辺は(1)の２乗になるため、
$$\int_0^\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\Big(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\Big)^2=\left(\frac{1}{2}\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)\right)^2$$
(2)の右辺より、⑤が得られることが分かります。
⑥を導く
⑥の左辺より、
$$\Gamma\Big(n+\frac{1}{2}\Big)=\Big(n-\frac{1}{2}\Big)\Gamma\Big(n-\frac{1}{2}\Big)$$$$=\Big(n-\frac{1}{2}\Big)\Big(n-\frac{3}{2}\Big)\Gamma\Big(n-\frac{3}{2}\Big)=\frac{2n-1}{2}\frac{2n-3}{2}\cdots\frac{1}{2}\Gamma\Big(\frac{1}{2}\Big)$$$$=\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots3\cdot1}{2^n}\sqrt{\pi}$$
最後は⑤を使っています。これより、⑥の右辺が導かれます。
相補公式
オイラーの相補公式（Reflection Formula）が複素数全般に成り立つ対称性として知られています。これを用いることで、例えば $z = 1/2$ のとき $\left[\Gamma(1/2)\right]^2 = \pi$ となり、⑤を導出することができます。
$$\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)} -⑦$$
無限積表示
ワイエルストラスによる無限積表示（Weierstrassの表現）を用いれば、ガンマ関数の逆数を全複素数平面で定義された整関数として表すことができます。ここで $\gamma \approx 0.5772$ はオイラー・マスケローニ定数です。
$$\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left( 1 + \frac{z}{n} \right) e^{-z/n} -⑧$$
