静的ゲージ
静的ゲージとは、時空間でのパラメタの付け替えにより、ある一定時刻における静的な弦を表します。ゲージを適切に選択することにより、運動方程式を簡単な形で表すことができます。
ｄ次元の時空間 $x^\mu=(x^0,x^1,\cdots,x^d)$ での１次元の弦の場合、この弦の時空間での軌跡は、２次元の面（世界面）として表されます。世界面上の座標は２つのパラメタ（$\tau,\sigma$）で指定することができ、これをパラメタ空間と呼びます。
パラメタ空間の点の時空間への写像を $X^\mu$（弦座標）は以下で表されます。
$$X^\mu=\Big(X^0(\tau,\sigma),X^1(\tau,\sigma),\cdots,X^d(\tau,\sigma)\Big)$$
静的ゲージでは、$\tau=t$ と置くことで、
$$X^0(\tau,\sigma)\equiv ct=c\tau$$
のように書き換えられるため、弦座標は以下で表されます。
$$X^\mu(\tau,\sigma)=X^\mu(t,\sigma)=\Big(ct,\vec{X}(t,\sigma)\Big)$$
このとき、弦座標の微分は以下で表されます。
$$\frac{\partial X^\mu}{\partial t}=\Big(\frac{\partial X^0}{\partial t},\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)=\Big(c,\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big) －①$$$$\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}=\Big(\frac{\partial X^0}{\partial\sigma},\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)=\Big(0,\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big) －①$$
横方向速度
横方向速度は、弦におけるパラメタ付け替え不変な速度です。
$ds$ を弦に沿った無限小区間の長さ（$ds=|d\vec{X}|$）とすると、$\partial\vec{X}/\partial s$ は弦に正接している単位ベクトル（単位接線）になります。
任意のベクトル $\vec{u}$ について、単位ベクトル $\vec{n}$ に直交する成分は $\vec{u}-(\vec{u}\cdot\vec{n})\vec{n}$ であるため、この $\vec{u}$ と $\vec{n}$ に、弦の速度 $\partial\vec{X}/\partial t$ と弦に沿った単位ベクトル $\partial\vec{X}/\partial s$ を当てはめると、垂直成分（横方向速度：$\vec{v}_\perp$）は以下で表されます。
$$\vec{v}_\perp=\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)\frac{\partial\vec{X}}{\partial s} -②$$
また、横方向速度の２乗は、$(\partial\vec{X}/\partial s)^2=1$ であるため、以下になります。
$$\vec{v}_\perp^2=\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)^2$$
静的ゲージでの作用
静的ゲージと横方向速度を適用すると、以下の南部・後藤の作用
$$S=-\frac{T_0}{c}\int_{\tau0}^{\tau1}d\tau\int_0^{\sigma1}d\sigma\sqrt{(\dot{X}^\mu X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)(X^{\nu’} X’_\nu)} －③$$
は、以下のように書き換えられます。（④の導出）
$$S=-T_0\int dt\int_0^{\sigma1}d\sigma\Big(\frac{ds}{d\sigma}\Big)\sqrt{1-\frac{\vec{v}_\perp^2}{c^2}} －④$$
ラグラジアンは以下で表されます。
$${\mathcal L}=-T_0\int ds\sqrt{1-\frac{\vec{v}_\perp^2}{c^2}}$$
④を導く
静的ゲージ（$\tau=t$）と①より、
$$\dot{X}^\mu X’_\mu=\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma} -(1)$$$$\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu=\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial t}\Big)^2=-c^2+\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2 -(2)$$$$X^{\nu’} X’_\nu=\Big(\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}\Big)^2=\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2 -(3)$$
従って、③の根号の中は、$\partial\vec{X}/\partial s$ が単位ベクトルであることを留意すると、以下のように書き換えられます。
$$(\dot{X}^\mu X’_\mu)^2-(\dot{X}^\mu\dot{X}_\mu)(X^{\nu’} X’_\nu)$$$$=\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2+\Big[c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2$$$$=\Big(\frac{ds}{d\sigma}\Big)^2\Big[\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)^2+c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]=\Big(\frac{ds}{d\sigma}\Big)^2(c^2-\vec{v}_\perp^2)$$
これを③に代入すると④が導かれます。
静的ゲージでの運動量
$$P^{\sigma\mu}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)\dot{X}^\mu-(\dot{X}^\nu\dot{X}_\nu)X^{\mu’}}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$$$=-\frac{T_0}{c^2}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\dot{X}^\mu+\Big[c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]\frac{\partial X^\mu}{\partial s}\right) -⑤$$
$$P^{\tau\mu}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)X^{\mu’}-(X^{\nu’} X’_\nu)\dot{X}^\mu}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$$$=-\frac{T_0}{c^2}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\frac{\partial X^\mu}{\partial s}-\dot{X}^\mu\right) -⑥$$
特に $\mu=0$ の成分は、①と $\partial X^0/\partial s=0$ より以下で表すことができます。
$$P^{\sigma0}=-\frac{T_0}{c}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)$$$$P^{\tau0}=\frac{T_0}{c}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}$$
⑤の導出
(1)～(3)から得られます。
$$P^{\sigma\mu}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)\dot{X}^\mu-(\dot{X}^\nu\dot{X}_\nu)X^{\mu’}}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$$$=-\frac{T_0}{c^2}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\Big(\frac{d\sigma}{ds}\Big)\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\dot{X}^\mu+\Big[c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}\right)$$$$=-\frac{T_0}{c^2}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\dot{X}^\mu+\Big[c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]\frac{\partial X^\mu}{\partial s}\right)$$
⑥の導出
(1)～(3)と、$\partial\vec{X}/\partial s$ が単位ベクトルであることから得られます。
$$P^{\tau\mu}=-\frac{T_0}{c}
\frac{(\dot{X}^\nu X’_\nu)X^{\mu’}-(X^{\nu’} X’_\nu)\dot{X}^\mu}{\sqrt{(\dot{X}^\nu X’_\nu)^2-(\dot{X}^\rho\dot{X}_\rho)(X^{\nu’} X’_\nu)}}$$$$=-\frac{T_0}{c^2}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\Big(\frac{d\sigma}{ds}\Big)\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\frac{\partial X^\mu}{\partial\sigma}-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2\dot{X}^\mu\right)$$$$=-\frac{T_0}{c^2}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\frac{\partial X^\mu}{\partial s}-\dot{X}^\mu\right)$$
静的ゲージの波動方程式
相対論的な弦の運動方程式は次のように表せますが、
$$\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}=0$$
静的ゲージ（$t=\tau$）の弦の運動量を使うと、以下のように書き替えられます。
$$\frac{\partial P^{\tau\mu}}{\partial t}+\frac{\partial P^{\sigma\mu}}{\partial\sigma}=0 －⑦$$
また、弦の世界面上のパラメタ（$\sigma,t$）について、$t$ が一定の曲線群と $\sigma$ が一定の直線群が常に直交するように、$\sigma$ のパラメタ付けを行います。このとき、$t$ が一定の曲線に対する正接 $\partial\vec{X}/\partial\sigma$（$\partial\vec{X}/\partial s$）と $\sigma$が一定の曲線に対する正接 $\partial\vec{X}/\partial t$ は直交するため、
$$\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}=\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}=0 -⑧$$
さらに、$\sigma$ を以下が成り立つように選ぶと、
$$\frac{ds}{d\sigma}\Big/\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}=1 －⑨$$
⑦は以下の波動方程式で表されます。（⑩の導出）
$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial t^2}=\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial\sigma^2} -⑩$$
横方向速度②は⑧により全ての点において以下で表されます。
$$\vec{v}_\perp=\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}=\frac{\partial\vec{X}}{\partial t} -⑪$$
これらより次の制約条件が得られます。（⑫⑬の導出）
$$\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2+\frac{1}{c^2}\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2=1 -⑫$$$$\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\pm\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2=1 -⑬$$
境界条件は以下で表されます。
$$\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}=0 -⑭$$
⑩の導出
静的ゲージの運動量⑤⑥について、制約条件⑧と⑨⑪を適用すると以下のように書き換えられます。
$$P^{\sigma\mu}=-\frac{T_0}{c^2}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\dot{X}^\mu+\Big[c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]\frac{\partial X^\mu}{\partial s}\right)$$$$=-T_0\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{\partial X^\mu}{\partial s} -(4)$$$$P^{\tau\mu}=-\frac{T_0}{c^2}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\frac{\partial X^\mu}{\partial s}-\dot{X}^\mu\right)$$$$=\frac{T_0}{c^2}\frac{\partial X^\mu}{\partial t} -(5)$$
(4) と (5) の時間成分を書き出すと、$X^0=c\tau=ct$ より、
$$P^{\sigma0}=0$$$$P^{\tau0}=\frac{T_0}{c}$$
これらを⑦に代入すると、
$$\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{T_0}{c}\Big)=0 -(6)$$
一方、(4) と (5) の空間成分を書き出すと、
$$\vec{P}^{\sigma}=-T_0\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}$$$$\vec{P}^{\tau}=\frac{T_0}{c^2}\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}$$
これらを⑦に代入し、
$$\frac{\partial}{\partial\sigma}\Big(T_0\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)=\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{T_0}{c^2}\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)$$
左辺を変形し、右辺に(6)を使うと、
$$T_0\frac{\partial}{\partial\sigma}\Big(\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{d\sigma}{ds}\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)=\frac{T_0}{c^2}\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial t^2}$$
これに⑨を使うと波動方程式⑩が得られます。
$$\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial\sigma^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial t^2}$$
⑫⑬の導出
⑨の両辺を２乗すると、
$$\Big(\frac{ds}{d\sigma}\Big)^2+\frac{v_\perp^2}{c^2}=1$$
⑪を使い、左辺第１項を変形すると、
$$\Big(\frac{d\vec{X}}{ds}\Big)^{-2}\Big(\frac{d\vec{X}}{d\sigma}\Big)^2+\frac{1}{c^2}\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2=1$$
ここで、$\partial\vec{X}/\partial s$ が単位ベクトルであることを使うと⑫が得られます。一方、⑬の左辺を展開２乗すると、
$$\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2\pm\frac{1}{c}\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)+\frac{1}{c^2}\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2=1$$
これに⑧を使うと⑫が得られます。これより、⑫と⑬は同じ条件を表します。
弦のエネルギー
弦のエネルギーについては、
$$E=\int T_0\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}ds -⑮$$
条件⑨より、以下に書き替えられます。
$$dE=T_0d\sigma$$
