静的ゲージの波動方程式
相対論的な弦の運動方程式は次のように表せますが、
$$\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial \sigma}=0$$
静的ゲージ（$t=\tau$）の弦の運動量は、
$$P^\tau_\mu\to P^{\tau\mu} , P^\sigma_\mu\to P^{\sigma\mu}$$
と書くことができるため、以下のように書き替えられます。尚、（$\tau,\sigma$）は世界面上の時間軸と空間軸を表すパラメタです。
$$\frac{\partial P^{\tau\mu}}{\partial t}+\frac{\partial P^{\sigma\mu}}{\partial\sigma}=0 －①$$
また、弦の世界面上のパラメタ（$\sigma,t$）について、$t$ が一定の曲線群と $\sigma$ が一定の直線群が常に直交するように、$\sigma$ のパラメタ付けを行います。このとき、$t$ が一定の曲線に対する正接 $\partial\vec{X}/\partial\sigma$（$\partial\vec{X}/\partial s$）と $\sigma$が一定の曲線に対する正接 $\partial\vec{X}/\partial t$ は直交するため、
$$\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}=\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}=0 -②$$
さらに、$\sigma$ を以下が成り立つように選ぶと、
$$\frac{ds}{d\sigma}\Big/\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}=1 －③$$
①は以下の波動方程式で表されます。（導出）
$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial t^2}=\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial\sigma^2} -④$$
横方向速度
②により、横方向速度は全ての点において以下で表されます。
$$\vec{v}_\perp=\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}$$$$=\frac{\partial\vec{X}}{\partial t} -⑤$$
制約条件
これらより次の条件式が得られます。（導出）
$$\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2+\frac{1}{c^2}\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2=1 -⑥$$$$\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\pm\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2=1 -⑦$$
境界条件
境界条件は以下で表されます。
$$\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}=0 -⑧$$
弦のエネルギー
弦のエネルギーについては、
$$E=\int T_0\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}ds -⑨$$
条件③より、以下に書き替えられます。
$$dE=T_0d\sigma$$
導出
波動方程式を導く
静的ゲージの運動量について、
$$P^{\sigma\mu}=-\frac{T_0}{c^2}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\dot{X}^\mu+\Big[c^2-\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2\Big]\frac{\partial X^\mu}{\partial s}\right)$$$$P^{\tau\mu}=-\frac{T_0}{c^2}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\left(\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)\frac{\partial X^\mu}{\partial s}-\dot{X}^\mu\right)$$
制約条件②と③⑤を適用すると以下のように書き換えられます。
$$P^{\sigma\mu}=-T_0\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{\partial X^\mu}{\partial s} -(1)$$$$P^{\tau\mu}=\frac{T_0}{c^2}\frac{\partial X^\mu}{\partial t} -(2)$$
(1) と (2) の時間成分を書き出すと、$X^0=c\tau=ct$ より、
$$P^{\sigma0}=0$$$$P^{\tau0}=\frac{T_0}{c}$$
これらを①に代入すると、
$$\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{T_0}{c}\Big)=0 -(3)$$
一方、(1) と (2) の空間成分を書き出すと、
$$\vec{P}^{\sigma}=-T_0\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}$$$$\vec{P}^{\tau}=\frac{T_0}{c^2}\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}$$
これらを①に代入し、
$$\frac{\partial}{\partial\sigma}\Big(T_0\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\Big)=\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{T_0}{c^2}\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)$$
左辺を変形し、右辺に(3)を使うと、
$$T_0\frac{\partial}{\partial\sigma}\Big(\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{d\sigma}{ds}\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)=\frac{T_0}{c^2}\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial t^2}$$
これに③を使うと波動方程式④が得られます。
$$\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial\sigma^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial t^2}$$
制約条件を導く
③の両辺を２乗すると、
$$\Big(\frac{ds}{d\sigma}\Big)^2+\frac{v_\perp^2}{c^2}=1$$
⑤を使い、左辺第１項を変形すると、
$$\Big(\frac{d\vec{X}}{ds}\Big)^{-2}\Big(\frac{d\vec{X}}{d\sigma}\Big)^2+\frac{1}{c^2}\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2=1$$
ここで、$\partial\vec{X}/\partial s$ が単位ベクトルであることを使うと⑥が得られます。一方、⑦の左辺を展開２乗すると、
$$\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2\pm\frac{1}{c}\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)+\frac{1}{c^2}\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2=1$$
これに②を使うと⑥が得られます。
