静的ゲージの波動方程式

/弦理論

静的ゲージの波動方程式

静的ゲージ($t=\tau$)の弦の運動量は、$P^\tau_\mu\to P^{\tau\mu},P^\sigma_\mu\to P^{\sigma\mu}$ と書けるため、相対論的な弦の運動方程式は次のように書くことができます。

$$\frac{\partial P^{\tau\mu}}{\partial t}+\frac{\partial P^{\sigma\mu}}{\partial\sigma}=0  -①$$

この方程式の空間部分は、$\sigma$ を、

$$\frac{ds}{d\sigma}=\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}  -②$$

が成り立つように選ぶと、以下の波動方程式で表されます。

$$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial t^2}=\frac{\partial^2\vec{X}}{\partial\sigma^2}$$

尚、②の条件は、弦のハミルトニアン

$$H=\int T_0\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}ds$$

より、次のように書き替えられます。

$$dH\equiv dE=T_0d\sigma$$

制約条件

弦の世界面上のパラメタ($\sigma,t$)について、$t$ が一定の曲線群と $\sigma$ が一定の直線群が常に直交するように、$\sigma$ のパラメタ付けを行います。このとき、各曲線群の接線のスカラ積は0になるため、

$$\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\cdot\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}=0  -③$$

このとき、横方向速度は全ての点において以下で表されます。

$$\vec{v}_\perp=\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}  -④$$

また、②④と$\partial\vec{X}/\partial s$ が単位ベクトルであることを使うと、次の条件式が得られます。

$$\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\Big)^2+\frac{1}{c^2}\Big(\frac{\partial\vec{X}}{\partial t}\Big)^2=1$$

波動方程式を導く

静的ゲージの運動量に制約条件③を適用すると以下のように書き換えられます。

$$P^{\sigma\mu}=-T_0\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{\partial X^\mu}{\partial s}$$

$$P^{\tau\mu}=\frac{T_0}{c^2}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\frac{\partial X^\mu}{\partial t}$$

これらの時間成分を書き出すと、$X^0=c\tau$ より、

$$P^{\sigma0}=0$$

$$P^{\tau0}=\frac{T_0}{c}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}$$

これらを①に代入すると、

$$\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{T_0}{c}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\right)=0  -⑤$$

一方、空間成分を書き出し、④を使うと、

$$\vec{P}^{\sigma}=-T_0\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}$$

$$\vec{P}^{\tau}=\frac{T_0}{c^2}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\vec{v}_\perp$$

これらを①に代入し、⑤を使うと、

$$\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(T_0\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{\partial\vec{X}}{\partial s}\right)=\frac{T_0}{c^2}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\frac{\partial\vec{v}_\perp}{\partial t}$$

左辺を変形し、

$$T_0\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\frac{d\sigma}{ds}\frac{\partial\vec{X}}{\partial\sigma}\right)=\frac{T_0}{c^2}\frac{ds}{d\sigma}\Big(1-\frac{v_\perp^2}{c^2}\Big)^{-1/2}\frac{\partial\vec{v}_\perp}{\partial t}$$

これに条件②を使うと、波動方程式が得られます。

 

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