連続体とは
あらゆる物質は、分子などで構成され不連続的な構造を持っていますが、対象とする現象の尺度が分子の構造や運動のそれに比べ桁違いに大きい場合は、「連続体」として扱うことができます。
連続体の分類は、連続体に働く力（以下、応力）とそれによる変位（以下、歪み）の関係により決まります。連続体は大きく弾性体と流体の２つに分かれます。
- 弾性体：応力によって歪みが生じ、応力が無くなると歪みは元に戻ろうとする。
応力と歪みが比例する弾性体を線形弾性体（フック弾性体）、それ以外を非線形弾性体と呼びます。 - 流体：小さな応力でも自由に変形して流れ出し、応力が無くなっても元の形には戻らない。
面に対し常に垂直方向のみ応力のみ働く流体を完全流体、それ以外を粘性流体と呼びます。
連続体の運動を記述する方法として、ラグランジュ方式とオイラー方式の２つがあります。川の流れを調べる場合で例えると、舟に乗って川を下りながら観察するのがラグランジュ方式、橋の上から川全体を観察するのがオイラー方式と言うことができます。
ラグランジュ方式
ラグランジュ方式は、ある時刻のある素片に着目し、その素片が時間と共にどのように運動するか調べる方法です。弾性体力学では、物体素片の変位そのものを問題するので、ラグランジュ方式がよく用いられます。
初期状態での素片の座標を（$X_1,X_2,X_3$）とすると、時刻 $t$ における座標（$x_1,x_2,x_3$）は初期座標の関数で表すことができます。
$$x_i=x_i(X_1,X_2,X_3,t) , i=1,2,3$$
ラグランジュ方式の特徴は、初期座標｛$X_j$｝を独立変数として連続体を記述することです。
運動の連続性より、｛$x_i$｝と｛$X_j$｝は１対１に対応しており、これは以下のヤコビアンが０でない有限確定値を取ることを指します。
$$J\equiv\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x_1}{\partial X_1} & \frac{\partial x_1}{\partial X_2} & \frac{\partial x_1}{\partial X_3} \\
\frac{\partial x_2}{\partial X_1} & \frac{\partial x_2}{\partial X_2} & \frac{\partial x_2}{\partial X_3} \\
\frac{\partial x_3}{\partial X_1} & \frac{\partial x_3}{\partial X_2} & \frac{\partial x_3}{\partial X_3} \end{array}\right|=\frac{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(X_1,X_2,X_3)}$$
流線
流線とは、その各点の接線の方向が、速度ベクトルの方向と一致するような曲線です。流線の線素を $d{\bf s}$ とすると、$d{\bf s}\parallel{\bf v}$ であるから流線の方程式は以下で表されます。
$$\frac{dx_1}{v_1}=\frac{dx_2}{v_2}=\frac{dx_3}{v_3}$$
オイラー方式
オイラー方式は、ある時刻の空間の各点における物体の状態や変化を調べる方法です。流体力学では、物体の各点の物理量を知ればよいので、オイラー方式がよく用いられます。
任意の物理量 $F$ は、空間座標（$x_1,x_2,x_3$）と時刻 $t$ の関数で表すことができます。
$$F=F(x_1,x_2,x_3,t)$$
オイラー方式の特徴は、座標｛$x_i$｝を独立変数として連続体を記述することです。
運動方程式
①の物理量の微小時間 $\Delta t$ での変化は、$v_i=\partial x_i/\partial t$ と置くと、
$$\Delta F=F(x_i+v_i\Delta t,t+\Delta t)-F(x_i,t)$$
従って、
$$\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta F}{\Delta t}=\frac{dF}{dt}=\frac{\partial F}{\partial t}+v_i\frac{\partial F}{\partial x_i}$$
特に、物理量がベクトル ${\bf F}$ で、直交直線座標（デカルト座標系）の場合は、以下で表すことができます。
$$\frac{d{\bf F}}{dt}=\frac{\partial{\bf F}}{\partial t}+({\bf v}\cdot\nabla){\bf F}$$
左辺（$dF/dt$）は、物体素片の運動に着目したときの物理量の変化を表しており、ラグランジュ的な表現になっています。右辺第１項（$\partial F/\partial t$）は、局所的な物理量の変化を表しており、オイラー的な表現になっています。
右辺第２項は物体素片の運動による寄与を表し、右辺第１項が０の場合は定常運動になります。
道筋
道筋とは、個々の物体素片が時間とともに動く軌跡です。道筋の線素を $d{\bf s}$ とすると、$d{\bf s}={\bf v}dt$ であるから流線の方程式は以下で表されます。
$$\frac{dx_1}{v_1}=\frac{dx_2}{v_2}=\frac{dx_3}{v_3}=dt$$
連続体の基礎方程式
連続体の基礎方程式である連続の方程式、運動方程式、エネルギー方程式を解説します。この３つの方程式は、弾性体や流体を含めた連続体一般に成り立つ方程式となります。
連続の方程式
連続の方程式は、質量の保存を表す方程式です。オイラー表記では、密度を $\rho$、速度を $v_i$ とすると、以下で表されます。
$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v_i)}{\partial x_i}=0 －①$$
また、全微分と偏微分の関係
$$\frac{d}{dt}=\frac{\partial}{\partial t}+v_i\frac{\partial}{\partial x_i} －②$$
を使うと、ラグランジュ表記での連続の方程式は以下で表されます。
$$\frac{d\rho}{dt}+\rho\frac{\partial v_i}{\partial x_i}=0 -③$$
また、物体とともに動く閉曲面を考え、初期状態での密度を $\rho_0$ 、$t$ 秒後の密度を $\rho$ とすると、それらの関係はヤコビアン $J$ を使って表すことができます。これはラグランジュの連続式と呼ばれています。
$$\rho J=\rho_0 -④$$
$$J\equiv\left|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x_1}{\partial X_1} & \frac{\partial x_1}{\partial X_2} & \frac{\partial x_1}{\partial X_3} \\
\frac{\partial x_2}{\partial X_1} & \frac{\partial x_2}{\partial X_2} & \frac{\partial x_2}{\partial X_3} \\
\frac{\partial x_3}{\partial X_1} & \frac{\partial x_3}{\partial X_2} & \frac{\partial x_3}{\partial X_3} \end{array}\right|=\frac{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(X_1,X_2,X_3)}$$
とくに、物体が非圧縮 $\rho=\rho_0$ の場合は、$J=1$ となります。
①を導く
閉曲面 $S$ の単位面積を通して流入する質量は、$n_i$ を単位面積の法線とすると、$-\rho v_in_idS$ で表すことができます。閉曲面内の質量の変化は、閉曲面を出入りする質量の合計に等しいため、
$$\frac{\partial}{\partial t}\int_V\rho dV=-\int_S\rho v_in_idS$$
これに次のガウスの発散定理
$$\int_SA_in_idS=\int_V\frac{\partial A_i}{\partial x_i}dV －⑤$$
を適用すると、以下のように書き換えられます。
$$\frac{\partial}{\partial t}\int_V\rho dV=-\int_V\frac{\partial(\rho v_i)}{\partial x_i}dV$$$$\int_V\Big(\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v_i)}{\partial x_i}\Big)dV=0$$
閉曲面 $S$ は任意であるため、この式が成立するためには、被積分関数がゼロである必要があります。
④を導く
初期状態での閉曲面 $S_0$ に囲まれた体積 $V_0$ 内の質量と、$t$ 秒後の閉曲面 $S$ に囲まれた体積 $V$ 内の質量は等しいため、
$$\int_V\rho dx_1dx_2dx_3=\int_{V0}\rho_0dX_1dX_2dX_3$$
左辺はヤコビアンにより以下のように書き替えられるため、
$$\int_V\rho dx_1dx_2dx_3=\int_{V0}\rho\frac{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(X_1,X_2,X_3)}dX_1dX_2dX_3$$
これらの式の左辺は等しくなりますが、これは任意の閉曲面について成り立つので、④が得られます。
$$\rho\frac{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(X_1,X_2,X_3)}=\rho_0$$
また、ヤコビアンを時間微分すると、
$$\frac{dJ}{dt}=\frac{\partial(v_1,x_2,x_3)}{\partial(X_1,X_2,X_3)}+\frac{\partial(x_1,v_2,x_3)}{\partial(X_1,X_2,X_3)}+\frac{\partial(x_1,x_2,v_3)}{\partial(X_1,X_2,X_3)}$$$$=\frac{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(X_1,X_2,X_3)}\frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(X_1,X_2,X_3)}\frac{\partial v_2}{\partial x_2}+\frac{\partial(x_1,x_2,x_3)}{\partial(X_1,X_2,X_3)}\frac{\partial v_3}{\partial x_3}$$$$=J\Big(\frac{\partial v_1}{\partial x_1}+\frac{\partial v_2}{\partial x_2}+\frac{\partial v_3}{\partial x_3}\Big)=J\nabla\cdot{\bf v}$$
これを④の時間微分
$$J\frac{d\rho}{dt}+\rho\frac{dJ}{dt}=0$$
に代入すると、③が得られます。
$$\frac{d\rho}{dt}+\rho\nabla\cdot{\bf v}=0$$
運動方程式
運動方程式は、運動量の保存を表す方程式です。オイラー表記では、応力を $p_{ij}$ 、単位質量当りの外力を $K_i$ とすると、以下で表されます。
$$\frac{\partial(\rho v_i)}{\partial t}=-\frac{\partial P_{ij}}{\partial x_j}+\rho K_i －⑥$$$$P_{ij}\equiv-p_{ij}+\rho v_iv_j$$
尚、$P_{ij}$ は運動量の流束密度と呼ばれます。ここで、静水圧 $P_{ij}=-p\delta_{ij}$ を仮定し、①を使って書き換えると以下になります。
$$\rho\frac{\partial{\bf v}}{\partial t}+\rho({\bf v}\cdot\nabla){\bf v}=-\nabla p+\rho{\bf K} -⑦$$
また、ラグランジュ表記では、①と②を使うと、⑥は以下にように書き換えられます。この式は単位体積に対するニュートンの第２法則を表しています。
$$\rho\frac{dv_i}{dt}=\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+\rho K_i －⑧$$
⑥を導く
閉曲面 $S$ の内部の運動量の変化は、(1)応力 $p_{ij}$ による力、(2)単位面積を通して流入する運動量 $\rho v_i$ 、(3)単位質量当りの外力 $K_i$ の３つにより生じます。これを式で表すと以下になります。
$$\frac{\partial}{\partial t}\int_V\rho v_idV=(1)+(2)+(3)$$$$=\int_Sp_{ij}n_jdS-\int_S(\rho v_i)v_jn_jdS+\int_V\rho K_idV$$
(1)と(2)にガウスの発散定理⑤を適用すると、
$$\int_V\frac{\partial(\rho v_i)}{\partial t}dV=\int_V\Big(\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}-\frac{\partial(\rho v_iv_j)}{\partial x_j}+\rho K_i\Big)dV$$
閉曲面 $S$ は任意であるため、この式が成立するためには、被積分関数がゼロである必要があります。
⑦を導く
⑥で静水圧を仮定すると、
$$\frac{\partial(\rho v_i)}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x_j}(p\delta_{ij}+\rho v_iv_j)+\rho K_i$$$$\rho\frac{\partial v_i}{\partial t}+v_i\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x_i}-\rho v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}-v_i\frac{\partial(\rho v_j)}{\partial x_j}+\rho K_i$$
ここで①を使うと、
$$\rho\frac{\partial v_i}{\partial t}+\rho v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\rho K_i$$
これより⑦が導かれることが分かります。
エネルギー方程式
エネルギー方程式とは、エネルギーの保存則を表す方程式です。オイラー表記では、単位質量当りの全エネルギーを $E$、単位質量当りの内部エネルギーを $U$、熱流を $Q_j$ とすると、以下で表されます。
$$\frac{\partial(\rho E)}{\partial t}=-\frac{\partial G_j}{\partial x_j}+\rho v_iK_i －⑨$$$$G_j\equiv-v_ip_{ij}+\rho Ev_j+Q_j$$$$E\equiv\frac{1}{2}v_iv_i+U$$
ここで、$G_{ij}$ はエネルギーの流束密度と呼ばれます。
また、ラグランジュ表記では、①と②を使うと、⑨は以下にように書き換えられます。この式は単位体積に対する熱力学の第１法則を表しています。
$$\rho\frac{dU}{dt}=p_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}-\frac{\partial Q_i}{\partial x_i} －⑩$$
⑨を導く
閉曲面 $S$ の内部のエネルギーの変化は、(1)応力 $p_{ij}$ による仕事、(2)物体の運動に伴って単位面積を通して流入する単位質量当りのエネルギー $E$ 、(3)単位面積を通して流入する熱エネルギー $Q_i$ 、(4)単位質量当りの外力 $K_i$ による仕事の４つにより生じます。これを式で表すと以下になります。
$$\frac{\partial}{\partial t}\int_V\rho EdV=(1)+(2)+(3)+(4)$$$$=\int_Sv_ip_{ij}n_jdS-\int_S(\rho E)v_jn_jdS-\int_SQ_jn_jdS+\int_V\rho v_iK_idV$$
(1)と(2)と(3)にガウスの発散定理⑤を適用すると、
$$\int_V\frac{\partial(\rho E)}{\partial t}dV=\int_V\Big(\frac{\partial(v_ip_{ij})}{\partial x_j}-\frac{\partial(\rho Ev_j)}{\partial x_j}-\frac{\partial Q_j}{\partial x_j}+\rho v_iK_i\Big)dV$$
閉曲面 $S$ は任意であるため、この式が成立するためには、被積分関数がゼロである必要があります。
⑩を導く
⑨を書き下すと、
$$\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\rho}{2}v_i^2+\rho U\Big)=\frac{\partial(v_ip_{ij})}{\partial x_j}-\frac{\partial}{\partial x_j}\Big(\frac{\rho}{2}v_i^2v_j+\rho v_jU\Big)-\frac{\partial Q_j}{\partial x_j}+\rho v_iK_i -(1)$$
(1)について、左辺の第２項と左辺に移項した右辺の第３項について①と②を使うと、
$$\frac{\partial(\rho U)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v_jU)}{\partial x_j}=\rho\Big(\frac{\partial U}{\partial t}+v_j\frac{\partial U}{\partial x_j}\Big)+U\Big(\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v_j)}{\partial v_j}\Big)$$$$=\rho\frac{dU}{dt} -(2)$$
(1)について、右辺に移項した左辺の第１項と左辺の第１項、第２項、第５項について①と⑥を使うと、
$$-\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\rho}{2}v_i^2\Big)+\frac{\partial(v_ip_{ij})}{\partial x_j}-\frac{\partial}{\partial x_j}\Big(\frac{\rho}{2}v_i^2v_j\Big)+\rho v_iK_i$$$$=-\frac{v_i^2}{2}\Big(\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v_j)}{\partial v_j}\Big)+p_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}-v_i\Big(\rho\frac{\partial v_i}{\partial t}-\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+\rho v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}-\rho K_i\Big)$$$$=p_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}-v_i\Big(\frac{\partial(\rho v_i)}{\partial t}-\frac{\partial p_{ij}}{\partial x_j}+\frac{\partial(\rho v_iv_j)}{\partial x_j}-\rho K_i\Big)$$$$=p_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j} -(3)$$
(2)と(3)を(1)に代入すると⑩が得られます。
$$\rho\frac{dU}{dt}=p_{ij}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}-\frac{\partial Q_i}{\partial x_i} \to⑩$$
