ヘルツベクトル
ヘルツベクトルとは、振動する電気双極子（ヘルツダイポール）から放射される電磁波を記述する際に用いられるベクトルポテンシャルです。ヘルツベクトル ${\bf\Pi}$ は、ベクトルポテンシャル ${\bf A}$ とスカラーポテンシャル $\phi$ により以下で定義されます。
$${\bf A}=\epsilon\mu\frac{\partial{\bf\Pi}}{\partial t} -①$$$$\phi=-\nabla\cdot{\bf\Pi} -②$$
これらはローレンツ条件⑩を満たします。ヘルツベクトルにより、磁場⑥と電場⑦は以下のように表されます。
$${\bf B}=\epsilon\mu\nabla\times\frac{\partial{\bf\Pi}}{\partial t} -③$$$${\bf E}=\nabla\nabla\cdot{\bf\Pi}-\epsilon\mu\frac{\partial^2{\bf\Pi}}{\partial t^2} -⓸$$
これらをマクスウェル方程式⑨に代入すると、ヘルツベクトルの従う方程式が導かれます。
$$\frac{\partial}{\partial t}\Big(\nabla^2{\bf\Pi}-\epsilon\mu\frac{\partial^2{\bf\Pi}}{\partial t^2}\Big)=-\frac{1}{\epsilon}{\bf J} -⑤$$
ここでは、以下の電磁場の関係式を利用しています。
- 磁場と電場
磁場の強さ：${\bf H}$ 、磁束密度：${\bf B}$ 、電場の強さ：${\bf E}$ 、電束密度：${\bf D}$$${\bf B}=\nabla\times{\bf A} -⑥$$$${\bf E}=-\nabla\phi-\frac{\partial{\bf A}}{\partial t} -⑦$$$${\bf H}=\frac{1}{\mu}{\bf B} , {\bf D}=\epsilon{\bf E}$$ - マクスウェル方程式
電荷密度：$\rho$ 、電流：${\bf J}$$$\nabla\times{\bf E}=-\frac{\partial{\bf B}}{\partial t} -⑧$$$$\nabla\times{\bf H}=\frac{\partial{\bf D}}{\partial t}+{\bf J} -⑨$$$$\nabla\cdot{\bf B}=0 , \nabla\cdot{\bf D}=\rho$$ - ローレンツ条件$$\epsilon\mu\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot{\bf A}=0 -⑩$$
電流が存在しない場合
電流が存在しない場合は、⑤で ${\bf J}=0$ と置くと、
$$\nabla^2{\bf\Pi}-\epsilon\mu\frac{\partial^2{\bf\Pi}}{\partial t^2}=0 -⑪$$
これにより、④は以下のように書き替えられます。
$${\bf E}=\nabla\times\nabla\times{\bf\Pi} -⑫$$
尚、ここで以下のベクトル公式を使っています。
$$\nabla\times\nabla\times{\bf\Pi}=\nabla\nabla\cdot{\bf\Pi}-\nabla^2{\bf\Pi}$$
電気分極が存在する場合
電気分極 ${\bf P}$ が存在する場合、電流 ${\bf J}$ は、
$${\bf J}=\frac{\partial{\bf P}}{\partial t}$$
これを⑤に代入すると、
$$\nabla^2{\bf\Pi}-\epsilon\mu\frac{\partial^2{\bf\Pi}}{\partial t^2}=-\frac{1}{\epsilon}{\bf P} -⑬$$
磁気分極が存在する場合
磁気分極 ${\bf M}$ が存在する場合、電流 ${\bf J}$ は、
$${\bf J}=\nabla\times{\bf M}$$
これを⑤に代入し、以下のヘルツベクトル ${\bf\Pi}^*$ を導入すると、
$$\nabla\times{\bf\Pi}^*=\epsilon\frac{\partial{\bf\Pi}}{\partial t}$$$$\nabla\times{\bf\Pi}=-\mu\frac{\partial{\bf\Pi}^*}{\partial t}$$
⑤は以下のように書き替えられ、
$$\nabla^2{\bf\Pi}^*-\epsilon\mu\frac{\partial^2{\bf\Pi}^*}{\partial t^2}=-{\bf M} -⑭$$
電束密度と磁場は以下のように書き替えられます。
$${\bf D}=\epsilon\nabla\times\nabla\times{\bf\Pi}=-\epsilon\mu\nabla\times\frac{\partial{\bf\Pi}^*}{\partial t}$$$${\bf H}=\epsilon\nabla\times\frac{\partial{\bf\Pi}}{\partial t}=\nabla\times\nabla\times{\bf\Pi}^*$$
多重極子放射
⑬⑭の解はそれぞれ以下になります。
$${\bf\Pi}({\bf r},t)=\frac{1}{4\pi\epsilon}\int\frac{{\bf P}({\bf r}-{\bf r}’,t’)}{|{\bf r}-{\bf r}’|}dV’$$$${\bf\Pi}^*({\bf r},t)=\frac{1}{4\pi}\int\frac{{\bf M}({\bf r}-{\bf r}’,t’)}{|{\bf r}-{\bf r}’|}dV’$$
電気分極 ${\bf P}$ が角振動数 $\omega$ で振動する場合、
$${\bf P}={\bf P}_ke^{-i\omega(t-|{\bf r}-{\bf r}’|/c)}$$$${\bf\Pi}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\int\frac{{\bf P}e^{ik|{\bf r}-{\bf r}’|}}{|{\bf r}-{\bf r}’|}dV’ -⑮$$
電気分極 ${\bf P}$ が限定された領域に分布していて、その領域の大きさが観測点までの距離に比べて小さい場合、ヘルツベクトルは以下の展開式で近似されます。
$${\bf\Pi}=\sum_{n=0}^\infty{\bf\Pi}_n$$$${\bf\Pi}_n=(-i)^n\frac{e^{ikr}}{4\pi\epsilon r}\frac{2^nn!}{(2n)!}\int(kr’)^n{\bf P}P_n(\cos{\theta})dV’ -⑯$$
ここで以下の公式を利用しています。$h_n^{(1)}(x)$ は球ハンケル関数、$j_n(x)$ は球ベッセル関数です。
$$\frac{e^{ik|{\bf r}-{\bf r}’|}}{|{\bf r}-{\bf r}’|}=ik\sum_{n=0}^\infty(2n+1)h_n^{(1)}(kr)j_n(kr’)P_n(\cos{\theta})$$$$|{\bf r}-{\bf r}’|=\sqrt{r^2+r’^2-2rr’\cos{\theta}}$$$$h_n^{(1)}(x)\simeq(-i)^{n+1}\frac{e^{ix}}{x} (x\gg1)$$$$j_n(x)\simeq\frac{x^n}{(2n+1)!!}=\frac{2^nn!x^n}{(2n+1)!} (x\ll1)$$
電気双極子
⑯で $n=0$ の場合、$P_0(\cos{\theta})=1$ となり、${\bf p}$ は電気双極子モーメントであるため、ヘルツベクトルの電気双極子放射を表します。
$${\bf\Pi}_0=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{e^{ikr}}{r}\int{\bf P}dV’=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{e^{ikr}}{r}{\bf p}$$
電気四重極子
⑯で $n=1$ の場合、$P_1(\cos{\theta})=\cos{\theta}$ となり、第１項の ${\bf Q}$ は電気四重極子モーメントであるため、ヘルツベクトルの電気四重極子放射を表します。また、第２項は磁気双極子放射を表します。ここで、${\bf n}={\bf r}/r$ です。
$${\bf\Pi}_1=\frac{-i}{4\pi\epsilon}\frac{e^{ikr}}{r}\int kr'{\bf P}\cos{\theta}dV’$$$$=\frac{-i}{4\pi\epsilon}\frac{ke^{ikr}}{r}\int\Big({\bf Q}\cdot{\bf n}+\frac{i}{\omega}({\bf M}\times{\bf n})\Big)dV’ -⑰$$$$Q_{ij}=S_{ij}-\frac{1}{3}\delta_{ij}S_{kk}$$$$S_{ij}=\frac{1}{2}(r_i’P_j+r_j’P_i)$$
⑰の導出
${\bf n}={\bf r}/r$ と置いて、テンソルの対称部分と反対称部分に分けます。
$$r'{\bf P}\cos{\theta}=({\bf n}\cdot{\bf r}’){\bf P}=n_ir_i’P_j$$$$=\frac{1}{2}n_i(r_i’P_j+r_j’P_i)+\frac{1}{2}n_i(r_i’P_j-r_j’P_i)$$$$=n_iS_{ij}+\frac{1}{2}n_i({\bf r}’\times{\bf P})_{ij}$$
第１項について、放射に寄与しない球対称部分を無視すると、
$$S_{ij}=Q_{ij}+\frac{1}{3}\delta_{ij}S_{kk}\simeq Q_{ij}$$
一方、${\bf P}\propto e^{-i\omega t}$ より、${\bf J}=\dot{\bf P}=-i\omega{\bf P}$ であるから、磁気分極 ${\bf M}$ を使うと、
$$\frac{1}{2}{\bf r}’\times{\bf P}=\frac{i}{2\omega}{\bf r}’\times{\bf J}=\frac{i}{\omega}{\bf M}$$
第２項は以下になります。
$$\frac{1}{2}n_i({\bf r}’\times{\bf P})_{ij}=\frac{i}{\omega}n_i(\epsilon_{ijk}M_k)=\frac{i}{\omega}({\bf M}\times{\bf n})_j$$
