伝播関数とは
伝播関数とは、ある時刻での場の演算子の期待値が、別の時刻での場の演算子の期待値にどのように影響（伝搬）するかを示す量です。
時間順序積（Ｔ積）を以下で定義します。
$$T\big(\psi_\alpha(x)\bar{\psi}_\beta(x’)\big)\equiv\left\{\begin{array}{ll}
\psi_\alpha(x)\bar{\psi}_\beta(x’) & (t\gt t’) \\
-\bar{\psi}_\beta(x’)\psi_\alpha(x) & (t’\gt t)\end{array} \right. -①$$
$$\psi=\psi^{(+)}+\psi^{(-)}$$$$\bar{\psi}\equiv\psi^\dagger\gamma^0=\bar{\psi}^{(+)}+\bar{\psi}^{(-)}$$
①の真空期待値を計算します。真空状態の左から演算子の (+) の部分（消滅演算子）を作用させても寄与せず、また真空状態の右から演算子の (－) の部分（生成演算子）を作用させても寄与しないため、以下のようになります。
$$\braket{0|T\big(\psi_\alpha(x)\bar{\psi}_\beta(x’)\big)|0}\equiv\left\{\begin{array}{ll}
\braket{0|\psi_\alpha^{(+)}(x)\bar{\psi}_\beta^{(-)}(x’)|0} & (t\gt t’) -②\\
-\braket{0|\bar{\psi}_\beta^{(+)}(x’)\psi_\alpha^{(-)}(x)|0} & (t’\gt t) -③\end{array} \right.$$
$$=\frac{-i}{(2\pi)^4}\int d^4p\frac{-i\cancel{p}+m}{p^2+m^2-i\epsilon}e^{ip\cdot(x-x’)} -④$$
この式が電子の伝播関数と呼ばれています。
伝播関数を導く
時間順序積②と③に以下のディラック場の演算子を代入します。
$$\psi^{(+)}=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\bf p}\sum_{s=1,2}\sqrt{\frac{mc^2}{E}}b_{\bf p}^{(s)}u^{(s)}({\bf p})e^{i({\bf p}\cdot{\bf x}-Et)/\hbar}$$$$\psi^{(-)}=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\bf p}\sum_{s=1,2}\sqrt{\frac{mc^2}{E}}d_{\bf p}^{(s)\dagger}v^{(s)}({\bf p})e^{i(-{\bf p}\cdot{\bf x}+Et)/\hbar}$$$$\bar{\psi}^{(+)}=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\bf p}\sum_{s=1,2}\sqrt{\frac{mc^2}{E}}d_{\bf p}^{(s)}\bar{v}^{(s)}({\bf p})e^{i({\bf p}\cdot{\bf x}-Et)/\hbar}$$$$\bar{\psi}^{(-)}=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_{\bf p}\sum_{s=1,2}\sqrt{\frac{mc^2}{E}}b_{\bf p}^{(s)\dagger}\bar{u}^{(s)}({\bf p})e^{i(-{\bf p}\cdot{\bf x}+Et)/\hbar}$$
まず、②（$t\gt t’$）より、
$$\braket{0|\psi_\alpha^{(+)}(x)\bar{\psi}_\beta^{(-)}(x’)|0}=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3p}{2E}\big(-i\cancel{p}+m\big)_{\alpha\beta}$$$$\times e^{i{\bf p}\cdot({\bf x}-{\bf x’})-iE(t-t’)} -⑤$$
次に、③（$t’\gt t$）より、
$$-\braket{0|\bar{\psi}_\beta^{(+)}(x’)\psi_\alpha^{(-)}(x)|0}=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3p}{2E}\big(i\cancel{p}+m\big)_{\alpha\beta}$$$$\times e^{i(-{\bf p})\cdot({\bf x}-{\bf x’})-i(-E)(t-t’)} -⑥$$
これら⑤と⑥から④が導かれることを示します。④の右辺を $p^2=|{\bf p}^2|-p_0^2$ を使って以下のように書き換えます。
$$④=\frac{-i}{(2\pi)^4}\int d^4p\frac{(-i\cancel{p}+m)e^{i{\bf p}\cdot({\bf x}-{\bf x’})-ip_0(t-t’)}}{-(p_0-E)(p_0+E)-i\epsilon}$$$$E\equiv\sqrt{|{\bf p}|^2+m^2}$$
さらに、被積分関数の分母を以下のように書き換えると、
$$-p_0^2+E^2-i\epsilon\cong-p_0^2+(E-i\epsilon/2)^2$$$$=-(p_0+E-i\epsilon/2)(p_0-E+i\epsilon/2)$$
④の積分は第二象限（$-E+i\epsilon/2$）と第四象限（$E-i\epsilon/2$）に２つの極を持ちます。
$$\frac{-i}{(2\pi)^4}\int dp^3\int dp_0\frac{(-i\cancel{p}+m)e^{i{\bf p}\cdot({\bf x}-{\bf x’})-ip_0(t-t’)}}{-(p_0-E+i\epsilon/2)(p_0+E-i\epsilon/2)} -⑦$$
⑦を $t\gt t’$ と $t’\gt t$ において、次のコーシーの積分表示を利用することで⑤と⑥を得ることができます。
$$\oint\frac{f(z)}{(z-z_0)}dz=\pm2\pi if(z_0) -⑧$$
②から⑤を導く
②（$t\gt t’$）にディラック場の演算子 $\psi^{(+)}$ と $\bar{\psi}^{(-)}$ を代入すると、
$$\braket{0|\psi_\alpha^{(+)}(x)\bar{\psi}_\beta^{(-)}(x’)|0}$$
$$=\frac{m}{V}\braket{0|\sum_{pp’}\sum_{ss’}\sqrt{\frac{1}{EE’}}b_p^{(s)}u_\alpha^{(s)}(p)e^{i(p\cdot x-Et)}b_{p’}^{(s’)\dagger}\bar{u}_\beta^{(s’)}(p)e^{i(-p’\cdot x’+E’t’)}|0}$$
$$=\frac{m}{V}\sum_{p}\sum_{s}\frac{1}{E}u_\alpha^{(s)}(p)\bar{u}_\beta^{(s)}(p)e^{ip\cdot(x-x’)-iE(t-t’)}$$
最後は以下の関係式を使用しています。
$$\braket{0|b_p^{(s)}b_{p’}^{(s’)\dagger}|0}=\delta_{pp’}\delta_{ss’}$$
さらに、次の射影演算子を使うと、
$$\sum_{s}u_\alpha^{(s)}(p)\bar{u}_\beta^{(s)}(p)＝\Big(\frac{-i\cancel{p}+m}{2m}\Big)_{\alpha\beta}$$
以下のように書き換えることができます。
$$\braket{0|\psi_\alpha^{(+)}(x)\bar{\psi}_\beta^{(-)}(x’)|0}=\frac{1}{V}\sum_{p}\frac{1}{2E}\big(-i\cancel{p}+m\big)_{\alpha\beta}e^{ip\cdot(x-x’)-iE(t-t’)}$$
これに以下の運動量空間の状態和の関係式を使うと⑤が得られます。
$$\lim_{V\to\infty}\frac{1}{V}\sum_p=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} -(1)$$
③から⑥を導く
③の $t’\gt t$ に、ディラック場の演算子 $\bar{\psi}_\beta^{(+)}$ と $\psi_\alpha^{(-)}$ を代入すると、
$$-\braket{0|\bar{\psi}_\beta^{(+)}(x’)\psi_\alpha^{(-)}(x)|0}$$
$$=-\frac{m}{V}\braket{0|\sum_{pp’}\sum_{ss’}\sqrt{\frac{1}{EE’}}d_{\bf p}^{(s’)}\bar{v}_\beta^{(s’)}({\bf p})e^{i(p’\cdot x’-E’t’)}d_{\bf p}^{(s)\dagger}v_\alpha^{(s)}({\bf p})e^{i(-p\cdot x+Et)}|0}$$
$$=-\frac{m}{V}\sum_{p}\sum_{s}\frac{1}{E}\bar{v}_\beta^{(s)}(p)v_\alpha^{(s)}(p)e^{ip\cdot(x’-x)-iE(t’-t)}$$
最後は以下の関係式を使用しています。
$$\braket{0|d_p^{(s)}d_{p’}^{(s’)\dagger}|0}=\delta_{pp’}\delta_{ss’}$$
さらに、次の射影演算子を使うと、
$$\sum_{s}v_\alpha^{(s)}(p)\bar{v}_\beta^{(s)}(p)＝-\Big(\frac{i\cancel{p}+m}{2m}\Big)_{\alpha\beta}$$
以下のように書き換えることができます。
$$-\braket{0|\bar{\psi}_\beta^{(+)}(x’)\psi_\alpha^{(-)}(x)|0}=\frac{1}{V}\sum_{p}\frac{1}{2E}\big(i\cancel{p}+m\big)_{\alpha\beta}e^{i(-p)\cdot(x-x’)-i(-E)(t-t’)}$$
これに以下の運動量空間の状態和の関係式 (1) を使うと⑥が得られます。
⑦から⑤を導く
$t\gt t’$ の場合、この $p_0$ による積分は、$\mathrm{Im}(p_0)\gt0$ で $e^{-ip_0(t-t’)}$ は寄与をもってしまうため、積分路を実軸と下半円で構成すると、第四象限（$E-i\epsilon/2$）の極から寄与のみとなります。⑦を書き換えると、
$$⑦=\frac{-i}{(2\pi)^4}\int dp^3\int dp_0\frac{f(p_0)}{p_0-E+i\epsilon/2}$$
$$f(p_0)\equiv-\frac{-i\cancel{p}+m}{p_0+E-i\epsilon/2}e^{i{\bf p}\cdot({\bf x}-{\bf x’})-ip_0(t-t’)}$$
極の周りの閉路積分は、コーシーの積分公式⑧（符号はプラス）を利用すると、
$$\int dp_0\frac{f(p_0)}{p_0-E+i\epsilon/2}=2\pi i\frac{-i\cancel{p}+m}{2E-i\epsilon}e^{i{\bf p}\cdot({\bf x}-{\bf x’})-i(E-i\epsilon/2)(t-t’)}$$$$\cong2\pi i\frac{-i\cancel{p}+m}{2E}e^{i{\bf p}\cdot({\bf x}-{\bf x’})-iE(t-t’)}$$
従って、
$$⑦=\frac{1}{(2\pi)^3}\int dp^3\frac{-i\cancel{p}+m}{2E}e^{i{\bf p}\cdot({\bf x}-{\bf x’})-iE(t-t’)} \to⑤$$
⑦から⑥を導く
$t’\gt t$ の場合、この $p_0$ による積分は、$\mathrm{Im}(p_0)\lt0$ で $e^{-ip_0(t-t’)}$ は寄与をもってしまうため、積分路を実軸と上半円で構成すると、第二象限（$-E+i\epsilon/2$）の極から寄与のみとなります。⑦を書き換えると、
$$⑦=\frac{-i}{(2\pi)^4}\int dp^3\int dp_0\frac{f(p_0)}{p_0+E-i\epsilon/2}$$
$$f(p_0)\equiv-\frac{-i\cancel{p}+m}{p_0-E+i\epsilon/2}e^{i{\bf p}\cdot({\bf x}-{\bf x’})-ip_0(t-t’)}$$
極の周りの閉路積分は、コーシーの積分公式⑧（符号はマイナス）を利用すると、
$$\int dp_0\frac{f(p_0)}{p_0-E+i\epsilon/2}=-2\pi i\frac{i\cancel{p}+m}{-2E+i\epsilon}e^{i(-{\bf p})\cdot({\bf x}-{\bf x’})-i(-E+i\epsilon/2)(t-t’)}$$$$\cong2\pi i\frac{i\cancel{p}+m}{2E}e^{i(-{\bf p})\cdot({\bf x}-{\bf x’})-i(-E)(t-t’)}$$
ここで、$p\to-p$ としているため、$\cancel{p}$ の符号が変わっています。従って、
$$⑦=\frac{1}{(2\pi)^3}\int dp^3\frac{i\cancel{p}+m}{2E}e^{i(-{\bf p})\cdot({\bf x}-{\bf x’})-i(-E)(t-t’)} \to⑥$$
