励起数の演算子
開弦の数演算子
開弦の励起数の演算子 $N^\bot$ は以下で定義されます。
$$N^\bot\equiv\sum_{n=1}^\infty na_n^{I\dagger}a_n^I=\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}^I\alpha_n^I -①$$
なお、消滅演算子 $\alpha_n^I$ と生成演算子 $\alpha_{-n}^I$ は以下の関係をもちます。
$$\alpha_n^I=a_n^I\sqrt{n}$$$$\alpha_{-n}^I=a_n^{I\dagger}\sqrt{n}$$
ヴィラソロ演算子
開弦のヴィラソロ演算子は、励起数の演算子を使って以下のように表されます。
$$L_0^\bot=\alpha’p^Ip^I+\sum_{n=1}^\infty na_n^{I\dagger}a_n^I -②$$$$=\alpha’p^Ip^I+N^\bot -③$$
質量の２乗
４元運動量を光円錐座標で表すと、
$$M^2=-p^2=2p^+p^- -p^Ip^I -④$$
これはヴィラソロ演算子の関係式
$$2\alpha’p^-=\frac{1}{p^+}(L_0^\bot+\chi)$$
と②を使って以下で表されます。
$$M^2=\frac{1}{\alpha’}\Big(\sum_{n=1}^\infty na_n^{I\dagger}a_n^I+\chi\Big)=\frac{1}{\alpha’}(N^\bot+\chi)$$
交換関係
数の演算子は以下の交換関係が成り立ちます。
$$[N^\bot,a_n^{I\dagger}]=na_n^{I\dagger}$$$$[N^\bot,a_n^I]=-na_n^I$$
これらは、①と以下の交換関係から求められます。
$$[a_m^I,a_n^J]=[a_m^{I\dagger},a_n^{J\dagger}]=0$$$$[a_m^I,a_n^{J\dagger}]=\delta_{m,n}\eta^{IJ}$$
閉弦の数演算子
閉弦の励起数の演算子 $N^\bot$ 、$\bar{N}^\bot$ は以下で定義されます。
$$N^\bot\equiv\sum_{n=1}^\infty na_n^{I\dagger}a_n^I=\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}^I\alpha_n^I -⑤$$$$\bar{N}^\bot\equiv\sum_{n=1}^\infty n\bar{a}_n^{I\dagger}\bar{a}_n^I=\sum_{n=1}^\infty\bar{\alpha}_{-n}^I\bar{\alpha}_n^I -⑤$$
ヴィラソロ演算子
開弦のヴィラソロ演算子は、励起数の演算子を使って以下のように表されます。
$$L_0^\bot=\frac{\alpha’}{4}p^Ip^I+N^\bot -④$$$$\bar{L}_0^\bot=\frac{\alpha’}{4}p^Ip^I+\bar{N}^\bot -④$$
質量の２乗
ヴィラソロ演算子の関係式
$$\alpha’p^-=\frac{1}{p^+}(L_0^\bot+\bar{L}_0^\bot+2\chi)$$
を使うと、４元運動量座標④は以下で表されます。
$$M^2=\frac{2}{\alpha’}(L_0^\bot+\bar{L}_0^\bot+2\chi)-p^Ip^I$$$$=\frac{2}{\alpha’}(N^\bot+\bar{N}^\bot+2\chi)$$
状態空間
１粒子状態に相当する量子弦の基底状態として、運動量の固有状態を導入します。任意の基本状態（運動量）は、この基底状態に生成演算子 $a_n^{I\dagger}$ を作用させることで得られると考えます。
$$\ket{p^+,\vec{p}_T}$$
数演算子は正規順序化されているので、この基底状態を消滅されます。
$$N^\bot\ket{p^+,\vec{p}_T}=0$$
基底状態のブラを $\bra{p^+,\vec{p}_T}$ とすると、内積は以下のように規格化されます。
$$\braket{{p’}^+,\vec{p’}_T|p^+,\vec{p}_T}=\delta({p’}^+-p^+)\delta(\vec{p’}_T-\vec{p}_T)$$
開弦の状態空間
開弦での任意の基本状態 $\ket{\lambda}$ は以下で表されます。
$$\ket{\lambda}=\prod_{n=1}^\infty\prod_{I=2}^{25}(a_n^{I\dagger})^{\lambda_{n,I}}\ket{p^+,\vec{p}_T}$$$$\bra{\lambda}=\bra{p^+,\vec{p}_T}\prod_{n=1}^\infty\prod_{I=2}^{25}(a_n^I)^{\lambda_{n,I}}$$
数演算子を基本状態に作用させると、基本状態を作っている生成演算子のモード番号の和が固有値として得られます。
$$N^\bot\ket{\lambda}=N_\lambda^\bot\ket{\lambda}$$$$N_\lambda^\bot=\prod_{n=1}^\infty\prod_{I=2}^{25}n\lambda_{n,I}$$
$n=2$ の場合は以下のようになります。
$$N^\bot a_2^{I\dagger}\ket{p^+,\vec{p}_T}=\Big([N^\bot,a_2^{I\dagger}]+a_2^{I\dagger}N^\bot\Big)\ket{p^+,\vec{p}_T}=2a_2^{I\dagger}\ket{p^+,\vec{p}_T}$$
基本状態の内積
以下の基本状態を例にとると、
$$\ket{\lambda’}=a_1^{I\dagger}\ket{{p’}^+,\vec{p’}_T}$$$$\ket{\lambda}=a_1^{J\dagger}\ket{p^+,\vec{p}_T}$$
演算子の交換関係により、これらの内積は以下が得られます。
$$\braket{\lambda’|\lambda}=\bra{{p’}^+,\vec{p’}_T}a_1^Ia_1^{J\dagger}\ket{p^+,\vec{p}_T}=\bra{{p’}^+,\vec{p’}_T}[a_1^I,a_1^{J\dagger}]\ket{p^+,\vec{p}_T}$$$$=\delta^{IJ}\delta({p’}^+-p^+)\delta(\vec{p’}_T-\vec{p}_T)$$
尚、基底状態に消滅演算子 $a_1^I$ を作用させると０になることを利用しています。
$$a_1^I\ket{p^+,\vec{p}_T}=0$$
質量の２乗
質量の２乗を基底状態に作用させると以下になります。
$$M^2\ket{p^+,\vec{p}_T}=\frac{1}{\alpha’}(N^\bot+\chi)\ket{p^+,\vec{p}_T}=\frac{\chi}{\alpha’}\ket{p^+,\vec{p}_T}$$
閉弦の状態空間
閉弦での任意の基本状態 $\ket{\lambda,\bar{\lambda}}$ は以下で表されます。
$$\ket{\lambda,\bar{\lambda}}=\Big(\prod_{n=1}^\infty\prod_{I=2}^{25}(a_n^{I\dagger})^{\lambda_{n,I}}\Big)\Big(\prod_{m=1}^\infty\prod_{J=2}^{25}(\bar{a}_m^{J\dagger})^{\bar{\lambda}_{m,J}}\Big)\ket{p^+,\vec{p}_T}$$
数演算子を基本状態に作用させると、基本状態を作っている生成演算子のモード番号の和が固有値として得られます。
$$(N^\bot+\bar{N}^\bot)\ket{\lambda,\bar{\lambda}}=(N_\lambda^\bot+\bar{N}_\lambda^\bot)\ket{\lambda,\bar{\lambda}}$$$$N_\lambda^\bot=\prod_{n=1}^\infty\prod_{I=2}^{25}n\lambda_{n,I}$$$$\bar{N}_\lambda^\bot=\prod_{n=1}^\infty\prod_{I=2}^{25}n\bar{\lambda}_{n,I}$$
