ポアソン分布とは - 理数の散策路

ポアソン分布
母関数
ポアソン過程

ポアソン分布

ポアソン分布（Poisson distribution）は、一定の時間や空間の中で、ある事象がランダムに何回起こるかを表す離散的な確率分布です。

ポアソン分布は、一定区間における平均発生回数 $\lambda$ のみで決定されます。ある区間において事象が $k$ 回起こる確率 $P(X = k)$ は、以下の公式で求められます。ここで、$k$ は事象が起こる回数、$\lambda$ は単位時間（または空間）当たりの平均発生回数です。

$$P(k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}　　-①$$

ポアソン分布の特徴は、期待値（平均）と分散が等しく $\lambda$ になることです。

- 平均：$E[X] = \lambda　　-②$
- 分散：$V[X] = \lambda　　-③$

②の導出

後に説明するモーメント母関数からの平均を導出します。モーメント母関数の定義 $M(t)=E[e^{tX}]$ より、

$$E[X]=E\left[\frac{d}{dt}e^{tX}\Big|_{t=0}\right]=\frac{d}{dt}M(t)\Big|_{t=0}=M'(0)$$

⑦より、１回微分すると、

$$M'(t) = \frac{d}{dt} e^{\lambda(e^t – 1)} = \lambda e^t \cdot e^{\lambda(e^t – 1)}$$

これより②が得られます。

$$E[X] = M'(0)= \lambda$$

③の導出

$M'(t)$ をもう一度微分すると、

$$M”(t) = \frac{d}{dt} \left( \lambda e^t \cdot e^{\lambda(e^t-1)} \right) = \lambda e^t \cdot e^{\lambda(e^t-1)}+\lambda e^t \cdot \left(\lambda e^t e^{\lambda(e^t-1)} \right)$$

$t = 0$ を代入すると、

$$E[X^2] = M”(0)= \lambda^2+\lambda$$

これより③が得られます。

$$V[X] =E[X^2]-\big(E[X]\big)^2= \lambda$$

ポアソン分布の具体例

ポアソン分布の具体例は以下になります。このように、発生確率は小さいが、試行回数や範囲が大きい現象をモデル化する際に使われます。

- １時間あたりにカスタマーサポートへ届く電話の件数
- １か月間に特定の交差点で発生する事故の件数
- １ページの本の中に含まれる誤字の個数
- Webサイトにおける１分あたりのアクセス数

二項分布との関係

ポアソン分布は、二項分布において試行回数 $n$ が大きく、発生確率 $p$ が小さい（ただし平均 $\lambda = np$ は一定）という極限をとったものです。

$$\lim_{n\to\infty}{}_n\mathrm{C}_k p^k (1-p)^{n-k} =\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}　　-④$$$$\lambda=np=\mathrm{const}　　-⑤$$

④の導出

二項分布において、⑤より $p=\lambda/n$ と表し、４つのパートに分解します。

$$P(k)={}_n\mathrm{C}_k p^k (1-p)^{n-k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}$$$$=\frac{n!}{k!(n-k)!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$$$$= \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \underbrace{\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^k}}_{\text{(1)}} \cdot \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\text{(2)}} \cdot \underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\text{(3)}}$$

各パートごとに極限（$n \to \infty$）を取ると、(1) について、

$$\lim_{n \to \infty}\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k} =\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-k+1}{n}$$$$=\lim_{n \to \infty}1 \cdot \left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1　　-(1)$$

(2) はネイピア数 $e$ の定義になるため、

$$\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n = e^{-\lambda}　　-(2)$$

(3) については、

$$\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k} = 1^{-k} = 1　　-(3)$$

(1)～(3) より、④が得られることが分かります。

$$\lim_{n \to \infty} P(k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

母関数

ポアソン分布（平均 $\lambda$）における確率母関数とモーメント母関数（積率母関数）の導出過程およびそれぞれの性質について解説します。

確率母関数

確率母関数（Probability Generating Function: PGF）$G(s)$ は、$s^k$ の期待値 $E[s^X]$ として定義されます。

$$G(s) = E[s^X] = \sum_{k=0}^{\infty} s^k P(X = k) = e^{\lambda(s – 1)}　　-⑥$$

⑥の導出

⑥の中辺に①を代入すると⑥の右辺が得られます。

$$\sum_{k=0}^{\infty} s^k P(k) =\sum_{k=0}^{\infty} s^k \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}= e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda s)^k}{k!}= e^{\lambda(s-1)}$$

最後は以下のネイピア数 $e$ の定義を使っています。

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$

モーメント母関数

モーメント母関数（Moment Generating Function: MGF）$M(t)$ は、$e^{tX}$ の期待値 $E[e^{tX}]$ として定義されます。$s = e^t$ とおくと、$E[e^{tX}] = E[(e^t)^X]$ となるため、確率母関数の変数 $s$ に $e^t$ を代入することで求められます。

$$M(t) = E[e^{tX}] = G(e^t) = e^{\lambda(e^t-1)}　　-⑦$$

ポアソン過程

ポアソン過程（Poisson process）とは、１回当たりのイベント発生がポアソン分布に従う場合の、時間的に連続的したイベントが積み重なっていく過程をモデル化した確率過程です。

時刻 $t$（$t \ge 0$）までに発生したイベントの累計回数を表す確率変数を $N(t)$ としたとき、以下の条件を満たす場合を強度（発生レート）$\lambda$ の同次ポアソン過程と呼びます。

初期状態
$N(0) = 0$（時刻 0 での発生回数は 0）
独立増分性（Independent Increments）
互いに重ならない時間区間で起こるイベントの数は、互いに独立である（無記憶性）。
定常増分性（Stationary Increments）
長さ $\tau$ の時間区間内に発生するイベント数 $N(t+\tau) – N(t)$ の分布は、開始時刻 $t$ によらず、区間の長さ $\tau$ のみに依存する。

尚、この時間区間 $\tau$ の間に発生するイベント数 $k$ は、平均 $\lambda \tau$ のポアソン分布に従います。

$$P(k) = \frac{(\lambda\tau)^k e^{-\lambda \tau}}{k!} \quad (k = 0, 1, 2, \dots)$$$$k=N(t+\tau)-N(t)$$

ポアソン過程の具体例は以下になります。