弦の世界面について、適当なパラメータ付けと制約条件を設けることで、相対論的弦の運動方程式は波動方程式に帰着します。
パラメータ付け
ここでは、以下の仮定を置きます。ここで、$P(\tau,\mu)$ は弦の運動量密度、$n_\mu$ は超平面の法線を表します。
- 弦の座標 $X(\tau,\mu)$ の線形結合は $\tau$ に等しい。
- 開弦の端点において $n\cdot P^\sigma=0$ とする。
静的ゲージを一般化した以下のようなパラメータ付けを行います。
| 開弦 | 閉弦 |
| $n\cdot X=2\alpha(n\cdot p)\tau -①$ $n\cdot p=\pi(n\cdot P^\tau) -②$ |
$n\cdot X=\alpha(n\cdot p)\tau -③$ $n\cdot p=2\pi(n\cdot P^\tau) -④$ |
| $n\cdot P^\sigma=0 -⑤$ | |
また、$\alpha$ は勾配パラメータ、
$$\alpha=\frac{1}{2\pi T_0\hbar c}$$
$p$ は世界面上の保存量、
$$p^\mu(\tau)=\int P^{\tau\mu}(\tau,\sigma)d\sigma -⑥$$
そして、弦の運動量密度は以下になります。尚、以下は自然単位系（$c=\hbar=0$）を使っています。
$$P^{\tau\mu}=-\frac{1}{2\pi\alpha}
\frac{(\dot{X}\cdot X’)X^{\mu’}-X’^2\dot{X}^\mu}{\sqrt{(\dot{X}\cdot X’)^2-\dot{X}^2X’^2}} -⑦$$
$$P^{\sigma\mu}=-\frac{1}{2\pi\alpha}
\frac{(\dot{X}\cdot X’)\dot{X}^\mu-\dot{X}^2X^{\mu’}}{\sqrt{(\dot{X}\cdot X’)^2-\dot{X}^2X’^2}} -⑧$$
①の導出
⑥の両辺に $n$ のスカラー積をとって、$\tau$ で微分します。
$$\frac{d}{d\tau}(n\cdot p)=\int\frac{\partial}{\partial\tau}(n\cdot P^{\tau})d\sigma$$
運動方程式⑪を代入し、積分すると、仮定２より右辺は０になります。
$$\frac{d}{d\tau}(n\cdot p)=-\int\frac{\partial}{\partial\sigma}(n\cdot P^{\sigma})d\sigma=-\Big[n\cdot P^{\sigma}\Big]_{\sigma1}^{\sigma2}=0$$
従って、$n\cdot p$ は一定値になるため、仮定１と合せて次の関係式を仮定します。
$$n\cdot X=\lambda(n\cdot p)\tau$$
ここで、$\lambda$ は定数ですが、$\tau$ は単位を持たないため、速度を力で割った次元（$M^{-1}T$）を持つことが分かります。
$$\lambda\sim\frac{c}{T_0}=2\pi\alpha\hbar c$$
自然単位系を使い、$\lambda=2\alpha$ で定義すると、①が得られます。
②の導出
⑦により、$P^\mu$ は $\sigma$ のパラメータの付け替えに対し、$d/d\sigma$ のように変換します。従って、$n\cdot P^\tau$ が $\sigma$ に依存しないように、新たなパラメータ $\sigma’$ を以下のように調整できます。
$$n\cdot P^\tau(\tau,\sigma)=\frac{d\sigma’}{d\sigma}n\cdot P^\tau(\tau,\sigma’)$$
従って、次のように置いて、
$$a(\tau)\equiv n\cdot P^\tau(\tau,\sigma)$$
両辺を $\sigma$（$0\sim\pi$）で積分すると、⑥より、
$$\pi a(\tau)=\int_0^\pi n\cdot P^\tau(\tau,\sigma)d\sigma=n\cdot p$$
これを代入すると②が求められます。
⑤の導出
運動方程式⑬に対し $n$ のスカラー積をとると、
$$\frac{\partial}{\partial\tau}(n\cdot P^\tau)+\frac{\partial}{\partial\sigma}(n\cdot P^\sigma)=0$$
②により第１項は０になるため、
$$\frac{\partial}{\partial\sigma}(n\cdot P^\sigma)=0$$
仮定２により、開弦の端点で０になるため、少なくとも開弦では端点以外でも $n\cdot P^\sigma=0$ が成り立ちます。
制約条件
パラメータ付けにより、以下の制約条件が得られます。
| $\dot{X}\cdot X’=0 -⑨$ $\dot{X}^2+X’^2=0 -⑩$ |
⑨と⑩をまとめて次のように表すこともできます。
| $(\dot{X}\pm X’)^2=0$ |
⑨の導出
⑧の両辺で $n$ とスカラー積をとり、①より $\partial_\sigma(n\cdot X)=0$ であるから、
$$n\cdot P^{\sigma}=-\frac{1}{2\pi\alpha}
\frac{(\dot{X}\cdot X’)\partial_\tau(n\cdot X)-\dot{X}^2\partial_\sigma(n\cdot X)}{\sqrt{(\dot{X}\cdot X’)^2-\dot{X}^2X’^2}}$$$$=-\frac{1}{2\pi\alpha}
\frac{(\dot{X}\cdot X’)\partial_\tau(n\cdot X)}{\sqrt{(\dot{X}\cdot X’)^2-\dot{X}^2X’^2}}$$
一方、①より $\partial_\tau(n\cdot X)\ne0$ であり、⑤より $n\cdot P^\sigma=0$ であるため、$\dot{X}\cdot X’=0$ であることが導かれます。
⑩の導出
⑦に⑨を代入すると、
$$P^{\tau\mu}=\frac{1}{2\pi\alpha}
\frac{X’^2\dot{X}^\mu}{\sqrt{-\dot{X}^2X’^2}}$$
これを②に代入すると、
$$n\cdot p=\frac{1}{2\alpha}
\frac{X’^2(n\cdot\dot{X})}{\sqrt{-\dot{X}^2X’^2}}$$
①の両辺を $\tau$ で微分して $n\cdot\dot{X}=2\alpha(n\cdot p)$、これを代入すると、
$$1=\frac{X’^2}{\sqrt{-\dot{X}^2X’^2}}$$
これより、$\dot{X}^2+X’^2=0$ が得られます。
弦の運動方程式
制約条件により、弦の運動量密度は以下になります。
$$P^{\tau\mu}=\frac{1}{2\pi\alpha}\dot{X}^\mu -⑪$$
$$P^{\sigma\mu}=-\frac{1}{2\pi\alpha}X^{\mu’} -⑫$$
$$\frac{\partial P^{\tau\mu}}{\partial\tau}+\frac{\partial P^{\sigma\mu}}{\partial \sigma}=0 -⑬$$
以下のような波動方程式として表すことができます。
| $$\frac{\partial^2X^\mu}{\partial\tau^2}-\frac{\partial^2X^\mu}{\partial \sigma^2}=0$$ |
⑪と⑫の導出
⑨と⑩により、⑦と⑧の分母は以下になります。
$$\sqrt{(\dot{X}\cdot X’)^2-\dot{X}^2X’^2}=\sqrt{X’^2X’^2}=X’^2$$
これを⑦に代入すると⑪が得られ、⑧に代入し⑩を使うと⑫が得られます。
