世界面のカレント
「ラグラジアンの対称性と保存則」で導かれたカレントの概念を、弦の世界面に適用します。弦の作用の式である南部・後藤作用からの類推で、作用の式を以下のように書き換えます。
$$S=\int{\mathcal L}(\phi(q),\partial_a\phi(q))dq^0\cdots dq^d$$$$\downarrow$$$$S=\int{\mathcal L}(\partial_\tau X^\mu,\partial_\sigma X^\mu)d\tau d\sigma$$$$\partial_\tau\equiv\frac{\partial}{\partial\tau} , \partial_\sigma\equiv\frac{\partial}{\partial\sigma}$$
弦の世界面の場合、$(q^0,\cdots,q^d)\to(\tau,\sigma)$ のように２次元になり、場の変数 $\phi$ は弦の座標 $X^\mu$ に置き換わります。
このとき、世界面上でのカレントは以下で表され、
$$J_\mu^\tau=\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_\tau X^\mu)}=P_\mu^\tau －①$$$$J_\mu^\sigma=\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_\sigma X^\mu)}=P_\mu^\sigma －②$$
カレントの保存則は以下で表されます。
$$\partial_a J_\mu^a=\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial\sigma}=0$$
これは、相対論的弦の運動方程式であることが分かります。
①と②の導出
カレントの定義式は以下であるため、
$$\epsilon^\mu J_\mu^a\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial(\partial_a\phi)}\delta\phi$$
ここで $\tau$ 成分について考え、 $\phi\to X^\mu$、$\delta\phi=\delta X^\mu=\epsilon^\mu$（$\epsilon^\mu$ は定数）と置き替えると、
$$\epsilon^\mu J_\mu^\tau=\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}\epsilon^\mu$$
さらに、$\dot{X}^\mu$ の共役変数 $P_\mu^\tau$ は以下で定義されるため、
$$P^\tau_\mu\equiv\frac{\partial{\mathcal L}}{\partial\dot{X}^\mu}$$
これらより①が導かれます。また、$\sigma$ 成分も同様にして、②を導くことができます。
世界面のチャージ
「ラグラジアンの対称性と保存則」より、カレントの第０成分を空間積分するとチャージが得られますが、弦の世界面のチャージ（$p_\mu$）の場合は、以下のように書くことができます。
$$Q_\mu=\int J_\mu^0dq^1\cdots dq^d$$$$\downarrow$$$$p_\mu(\tau)=\int_0^{\sigma1}P_\mu^\tau(\tau,\sigma)d\sigma －③$$
この弦の運動量は、次のように一般化することができ、
$$p_\mu=\int_c(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau) －④$$
以下のような保存則が成り立ちます。
$$\frac{dp_\mu}{dt}=0$$
④の導出
③と④が等しいことを示します。まず、２次元の発散定理は以下であるため、
$$\oint(A^xdy-A^ydx)=\int_S\Big(\frac{\partial A^x}{\partial x}+\frac{\partial A^y}{\partial y}\Big)dxdy$$
これを以下のように書き換えることができます。最後が０になるは、被積分が０（相対論的弦の運動方程式）であるためです。
$$\oint(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau)=\int\Big(\frac{\partial P_\mu^\tau}{\partial\tau}+\frac{\partial P_\mu^\sigma}{\partial\sigma}\Big)d\tau d\sigma=0 －⑤$$
左辺の積分を、下図のような世界面上（$\tau,\sigma$）の閉領域の積分（$a\to b\to c\to d$）と考えます。ここで、経路 $c$ は端点（$\sigma=0,\sigma=\sigma_1$）を結ぶ任意の経路です。
このとき、⑤は以下のように書き換えられます。
$$0=\oint(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau)$$$$=\Big(-\int_a+\int_b+\int_c-\int_d\Big)(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau)$$
経路 $b,d$ 上では $d\sigma=0$、さらに自由端点の境界条件
$$P_\mu^\sigma(\tau,0)=P_\mu^\sigma(\tau,\sigma_1)=0$$
を使うと、経路 $b,d$ 上の積分は０になります。また、$a$ 上では $d\tau=0$であるため、⑤は以下のように簡略化されます。
$$0=-\int_aP_\mu^\tau d\sigma+\int_c(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau)$$
この結果より以下であることが分かります。
$$\int_0^{\sigma_1}P_\mu^\tau d\sigma=\int_c(P_\mu^\tau d\sigma-P_\mu^\sigma d\tau)$$
