スピン角運動量とは

/量子力学

スピン角運動量

スピン角運動量は、電子の自転に相当し、原子のスペクトル線(エネルギー準位)が2重になることから仮説として提唱されました。スピン角運動量については、軌道角運動量からの類推で考えます。

軌道角運動量とは
軌道角運動量の演算子、軌道角運動量の固有値、磁気量子数を上げ下げする演算子、演算子の交換関係

軌道角運動量と同様、スピン角運動量の2乗($s^2$)の固有値は $s(s+1)\hbar$ であると考えられますが、この場合、スピン角運動量の $z$ 成分($s_z$)の固有値は、$s\hbar,(s-1)\hbar,\cdots,-s\hbar$ の $2s+1$ 個存在することになります。

しかし、エネルギー準位は2つしかないため、$2s+1=2$、つまり $s=1/2$ として演算子を導入します。その場合、軌道角運動量の磁気量子数に当るスピン磁気量子数($m_s$)は、$\pm1/2$ の2つの値を持つことになります。

以下、2つのエネルギー準位を $\alpha,\beta$($=Y_{1/2}^{\pm1/2}$)と書くことにします。

スピン角運動量の大きさの2乗

スピン角運動量の大きさの2乗の固有値は、$s=1/2$ より以下になります。

$$s^2\alpha=s(s+1)\hbar^2\alpha=\frac{3}{4}\hbar^2\alpha  ,  s^2\beta=\frac{3}{4}\hbar^2\beta$$

これを行列表示すると以下になります。

$$s^2\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)=\frac{3}{4}\hbar^2
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\
0 & 1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)$$

スピン角運動量の $z$ 成分

スピン角運動量の $z$ 成分の固有値は $\pm 1/2$ になります。

$$s_z\alpha=\frac{1}{2}\hbar\alpha  ,  s_z\beta=-\frac{1}{2}\hbar\beta$$

これを行列表示すると以下になります。

$$s_z\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)=\frac{\hbar}{2}
\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\
0 & -1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)$$

スピンの状態を変える演算子

$s_\pm=s_x\pm s_y$ で定義すると、固有値は以下になります。

$$s_+\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} 0 & \hbar \\
0 & 0 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)$$

$$s_-\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\
\hbar & 0 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right)$$

これは、軌道角運動量の式

$$l_\pm Y_l^m=\hbar\sqrt{(l\mp m)(l\pm m+1)}Y_l^{m\pm1}$$

からの類推で、以下になることから分かります。

$$s_+\beta(Y_{1/2}^{-1/2})=\hbar\sqrt{(1/2+1/2)(1/2-1/2+1)}Y_{1/2}^{-1/2+1}=\hbar\alpha$$

$$s_-\alpha(Y_{1/2}^{1/2})=\hbar\sqrt{(1/2-1/2)(1/2+1/2+1)}Y_{1/2}^{1/2-1}=\hbar\beta$$

演算子の交換関係

$s_\pm$ については、行列表示を使うと、以下の交換関係が成り立つことが分かります。これは、軌道角運動量の場合と同じ形になります。

$$[s_+,s_-]=s_+s_- -s_-s_+=2\hbar s_z$$

また、$s_x,s_y$ については、

$$s_x=\frac{1}{2}(s_++s_-)=\frac{\hbar}{2}
\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\
1 & 0 \end{array}\right)$$

$$s_y=\frac{1}{2i}(s_+-s_-)=\frac{\hbar}{2}
\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\
i & 0 \end{array}\right)$$

であるから、以下の交換関係が成り立つことが分かります。

$$[s_x,s_y]=s_xs_y -s_ys_x=i\hbar s_z$$

$$[s_y,s_z]=s_ys_z -s_zs_y=i\hbar s_x$$

$$[s_z,s_x]=s_zs_x -s_xs_z=i\hbar s_y$$

パウリ行列

パウリ行列を次で定義すると、

$$\sigma_x=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\
1 & 0 \end{array}\right)  ,
\sigma_y=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\
i & 0 \end{array}\right)  ,
\sigma_z=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\
0 & -1 \end{array}\right)$$

スピン角運動量は以下で表すことができます。

$${\bf s}=\frac{\hbar}{2}{\bf\sigma}$$

このパウリ行列は、次のような特徴があり、

  • エルミート行列である。
    $\sigma_x^\dagger=\sigma_x  ,  \sigma_y^\dagger=\sigma_y  ,  \sigma_z^\dagger=\sigma_z$
  • 行列式が-1である。
    $\det{\sigma_x}=\det{\sigma_y}=\det{\sigma_z}=-1$
  • 対角和が0である。
    $\mathrm{tr}{\sigma_x}=\mathrm{tr}{\sigma_y}=\mathrm{tr}{\sigma_z}=0$

以下の交換関係が成り立つことが分かります。

$$[\sigma_x,\sigma_y]=2i\sigma_z  ,  [\sigma_y,\sigma_z]=2i\sigma_x  ,  [\sigma_z,\sigma_x]=2i\sigma_y$$

 

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