投資のリターン&リスクとは

金融・応用数学

リターンとは

投資のリターンとは、期待できる利益です。株式など金融商品の価格変動に限定する場合、リターンは期待収益率(期待投資収益率)になります。このリターンは、過去の実績の場合と、将来の予測の2つの求め方があります。

過去の実績としてのリターン

期待収益率($\mu$)は、単位時間当たりの収益率($R$)の平均として求められます。

$$\mu=E[R]=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^nR_t$$

収益率Rは、以下の式で求められます。ここで、Sは金融商品の価格、tはある時刻を表します。

$$R_t=\frac{S_{t+1}-S_t}{S_t}$$

リスクが同じ場合、一般的に、価格が下がればリターンは上がり、価格が上がればリターンが下がる傾向にあります。これは、以下からも分かります。

t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6
10 11 12 13 14 15
0.10 0.091 0.083 0.077 0.071

将来の予測としてのリターン

期待収益率は、予測される収益率の平均として求められます。

$$\mu=E[R]=\sum_{i=1}^np_iR_i  ,  \sum_{i=1}^np_i=1$$

ここで、$p_i$ は各収益率の起こる確率です。

リスクとは

投資のリスクとは、不確実性による損失の可能性です。株式など金融商品の価格変動に限定する場合、リスクは標準偏差(ボラリティ)で表すことができます。この場合は、悪いことに限らず、良いことも含めた価格の不確実性(バラつき)表します。

標準偏差 $\sigma$ は、以下の式で求められます。尚、標準偏差の2乗は、分散と呼ばれます。

$$\sigma^2=V[R]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(R_i-\mu)^2$$

リターンとリスクの関係

一般に、リスクとリターンはトレードオフと考えられています。金融商品はハイリスク・ハイリターン、または、ローリスク・ローリターンとされており、ハイリスク・ローリターン、または、ローリスク・ハイリターンは存在しません。

例えば、ローリスク・ハイリターンの株式があった場合、皆が投資(買い)を希望するので、その株価は上がり、その結果リターンは下がります。例えば、その株式が国債と同じリスクであれば、国債と同じリターンになるまで株価は上昇します。

逆に、ハイリスク・ローリターンは誰も買わないため、その株価は下がり、その結果リターンは上がります。最終的に、ハイリスク・ハイリターン、または、ローリスク・ローリターンに均されてしまうのです。

尚、最もローリスク・ローリターンの投資先は、無リスク資産である日本国債です。そのため、投資を行う際は、国債のリターンを最低ラインとし、それ以外の金融商品はそのリスクに見合ったリターンが得られると考えます。これを、リスクプレミアムと言います。

 

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リターン&リスク、ポートフォリオ理論、効率的フロンティア、資本資産価格モデル、先物取引、スワップ取引、ゲーム理論、ナッシュ均衡
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