投資機会集合とは

金融・応用数学

投資機会集合とは、投資家が選択できるリターンとリスクの組み合わせです。複数の資産を上手く組み合わせることで、一定のリターンを確保しつつ、リスクを低減することが可能となります。

本記事では2資産の場合のリターンとリスクを求めますが、3資産以上の場合でも本質的に同じ傾向を持ちます。

2資産での投資機会集合

2資産の場合のリターン μ とリスク σ は以下で表されます。ここで、wは資産1の全体に占める割合、ρ は相関係数を表します。

$$\mu=w\mu_1+(1-w)\mu_2  -①$$

$$\sigma^2=w^2\sigma_1^2+2w(1-w)\sigma_1\sigma_2\rho+(1-w)^2\sigma_2^2  -②$$

この式の導出は以下の式を参照ください。

ポートフォリオの効果とは | 散策路
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以下の3つのケースで投資機会集合を見てみます。

順相関(ρ=1)の場合

順相関とは、2つの資産の価格が同じ方向に動く関係にあることです。$\rho=1$ のとき、リスク②は以下で表されます。

$$\sigma=w\sigma_1+(1-w)\sigma_2$$

従って、①よりリターンとリスクの関係は以下になります。

$$\mu=\frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma_1-\sigma_2}\sigma+\frac{\mu_2\sigma_1-\mu_1\sigma_2}{\sigma_1-\sigma_2}$$

グラフのイメージ

このままでは、グラフの形をイメージしにくいので、仮に $(\mu_1,\sigma_1)=(1,1)$、$(\mu_2,\sigma_2)=(2,2)$ で書き直します。

$$\mu=\sigma  ,  1\ge\sigma\ge2$$

完全な順相関の場合、2資産のリターンとリスクの関係は、2つの資産を結ぶ直線で表すことができます。

逆相関(ρ=-1)の場合

逆相関とは、2つの資産の価格が逆の方向に動く関係にあることです。この場合、リスクは常に正の値を取るため、資産1の割合がある一定値 $w_c$($\equiv\sigma_2/(\sigma_1+\sigma_2)$)より多いか少ないかで、リスク②の形が異なります。

$$(1\ge w\ge w_c)  \sigma=w\sigma_1-(1-w)\sigma_2$$

$$(w_c\ge w\ge0)  \sigma=-w\sigma_1+(1-w)\sigma_2$$

従って、①よりリターンとリスクの関係は以下になります。

$$(1\ge w\ge w_c)  \mu=\frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma_1+\sigma_2}\sigma+\frac{\mu_2\sigma_1+\mu_1\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$$

$$(w_c\ge w\ge0)  \mu=-\frac{\mu_1-\mu_2}{\sigma_1+\sigma_2}\sigma+\frac{\mu_2\sigma_1+\mu_1\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$$

グラフのイメージ

グラフの形をイメージし易くするため、同様に $(\mu_1,\sigma_1)=(1,1)$、$(\mu_2,\sigma_2)=(2,2)$ で書き直します。

$$(1\ge w\ge2/3)  \mu=-\frac{1}{3}\sigma+\frac{4}{3}$$

$$(2/3\ge w\ge0)  \mu=\frac{1}{3}\sigma+\frac{4}{3}$$

完全な逆相関の場合、$w=w_c$ でリスク $\sigma$ は0になり、直線のグラフは折れ曲がります。

無相関(ρ=0)の場合

無相関とは、2つの資産の価格の動きに関係が無いことです。$\rho=0$ のとき、リスク②は以下で表されます。

$$\sigma^2=w^2\sigma_1^2+(1-w)^2\sigma_2^2$$

従って、①よりリターンとリスクの関係は以下になります。

$$(\mu_1-\mu_2)^2\sigma^2=(\sigma_1^2+\sigma_2^2)\mu^2-2(\mu_2\sigma_1^2+\mu_1\sigma_2^2)\mu+\mu_2^2\sigma_1^2+\mu_1\sigma_2^2$$

グラフのイメージ

同様に $(\mu_1,\sigma_1)=(1,1)$、$(\mu_2,\sigma_2)=(2,2)$ で書き直します。

$$\sigma^2=5\mu^2-12\mu+8$$

リスク $\sigma$ は0にはならず、グラフは曲線を描きます。

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