ボーアの原子模型を導く

量子力学

ボーアの原子模型とは

ボーアの原子模型は、古典論的な原子模型の矛盾を解決するために導入されました。

ボーア以前は、原子核の周りを電子が周回する太陽系型の原子模型(ラザフォードの原子模型)が考えられていました。しかし古典電磁気学では、荷電粒子が円運動をすると、その回転数に等しい振動数の電磁波を放射しエネルギーを失ってしまうため、原子が安定した状態を保つことはできません。

そこで、ボーアにより導入されたのが以下の量子条件です。

ボーアの量子条件

ボーアの量子条件とは、原子核を周る電子の軌道の長さが、電子の波長の長さの整数倍の場合のみ安定して存在するという仮説です。これは、ド・ブロイの関係式($\lambda=h/mv$)の原子への応用です。

$$2\pi r=n\frac{h}{mv}  -①$$

エネルギー準位

ボーアの量子条件によって、電子のエネルギー準位が以下のような不連続な値を持つことが導かれます。

$$E_n=-\frac{me^4}{8\epsilon^2h^2}\frac{1}{n^2}  -②$$

ボーア半径

ボーア半径($a_0$)は、基底状態(n=1)の場合の電子軌道の半径で、以下で表されます。

$$a_0=\frac{\epsilon h^2}{\pi me^2}\cong 5.29\times 10^{-11}m$$

基底状態以外の電子軌道の半径は、ボーア半径により以下で表されます。

$$r_n=n^2a_0  -③$$

水素原子のスペクトル

ボーアの原子模型は、水素原子の輝線スペクトルを説明することができます。原子がある定常状態(E)から別の定常状態(E’)に遷移する場合、エネルギーが $h\nu$ の光子の放出します。これをボーアの原子模型から導くと以下になります。

$$h\nu=|E’-E|=\frac{me^4}{8\epsilon^2h^2}\left(\frac{1}{n’^2}-\frac{1}{n^2}\right)$$

ボーアの原子模型を導く

以下の3つの仮定より、ボーアの原子模型を導きます。尚、仮定2と仮定3は古典力学からの自然な類推です。

  • 仮定1:ボーアの量子条件(①)
  • 仮定2:電子に働くクーロン力と遠心力は釣り合う(④)
  • 仮定3:電子のエネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーの和となる(⑤)

仮定2より、以下の式が成り立ちます。

$$\frac{mv^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi\epsilon r^2}  -④$$

仮定3より、以下の式が成り立ちます。

$$E=\frac{mv^2}{2}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon r}  -⑤$$

④と⑤より、古典的な物理量である速度(v)を消去します。

$$E=-\frac{e^2}{8\pi\epsilon r}  -⑥$$

①と④より、同様にvを消去します。

$$r=\frac{\epsilon h^2}{\pi me^2}n^2  -⑦$$

⑥に⑦を代入すると、エネルギー準位②が導かれます。また、エネルギー準位 $n=1$ の電子の距離を⑥から求めると、それがボーア半径となります。さらに、⑦をボーア半径でまとめると、③が導かれます。

 

量子力学
シュレディンガー方程式、波動関数、量子もつれ、ベルの不等式、不確定性原理、ボーアの原子模型
数理の散策路
力学、電磁気・相対論、熱・統計力学、量子力学、物性物理、機械学習、情報処理、金融、物理数学

Wikipedia

 

タイトルとURLをコピーしました