ビアンキの関係式
ビアンキの関係式とは、リーマン曲率テンソルの添え字の巡回置換に成り立つ関係式です。以下のように表されます。
| $$R_{ijk}^m+R_{jki}^m+R_{kij}^m=0 -①$$ |
ここで、リーマン曲率テンソルは、クリストッフェル記号により以下で定義されます。ここで、カンマ（$,$）は反変微分を表します。
$$R_{ijk}^m=\Gamma_{ik,j}^m-\Gamma_{ij,k}^m+\Gamma_{ik}^n\Gamma_{nj}^m-\Gamma_{ij}^n\Gamma_{nk}^m -(11)$$
ビアンキの関係式を導く
(11)について、添え字｛$i,j,k$｝を１つづつ巡回置換させます。
$$R_{jki}^m=\Gamma_{ji,k}^m-\Gamma_{jk,i}^m+\Gamma_{ji}^n\Gamma_{nk}^m-\Gamma_{jk}^n\Gamma_{ni}^m -(12)$$$$R_{kij}^m=\Gamma_{kj,i}^m-\Gamma_{ki,j}^m+\Gamma_{kj}^n\Gamma_{ni}^m-\Gamma_{ki}^n\Gamma_{nj}^m -(13)$$
次に、(11)、(12)、(13)を足し合わせると、クリストッフェル記号の対称性 $\Gamma_{ij}^m=\Gamma_{ji}^m$ により、(11)の右辺第１項と(13)の右辺第２項は打ち消し合います。結局、右辺の和は０になり、左辺の和（ビアンキの関係式）のみ残ることが分かります。
ビアンキの恒等式
ビアンキの恒等式とは、リーマン曲率テンソルの共変微分に成り立つ対称性です。以下のように表されます。ここで、コロン（$:$）は共変微分を表します。
| $$R_{ijk:l}^m+R_{ikl:j}^m+R_{ilj:k}^m=0$$ |
ビアンキの恒等式を導く
まず、２つのベクトルの外積に対し共変微分を行います。ここでは $k$ と $l$ の順番を入れ替えて２回行います。
$$(A_iB_j)_{:k:l}=A_{i:k:l}B_j+A_{i:k}B_{j:l}+A_{i:l}B_{j:k}+A_iB_{j:k:l}$$$$(A_iB_j)_{:l:k}=A_{i:l:k}B_j+A_{i:l}B_{j:k}+A_{i:k}B_{j:l}+A_iB_{j:l:k}$$
２つの式の差分をとって、リーマン曲率テンソルの定義式
$$A_mR_{ijk}^m＝A_{i:j:k}-A_{i:k:j}$$
を使うと、
$$(A_iB_j)_{:k:l}-(A_iB_j)_{:l:k}=A_mB_jR_{ikl}^m+A_iB_mR_{jkl}^m$$
ここで、ベクトルの外積はテンソルであり、共変微分はテンソルであるから、$A_iB_j\to A_{i:j}$ と置き替えます。
$$A_{i:j:k:l}-A_{i:j:l:k}=A_{m:j}R_{ikl}^m+A_{i:m}R_{jkl}^m -(21)$$
次に、添え字｛$j,k,l$｝を１つづつ巡回置換させます。
$$A_{i:k:l:j}-A_{i:k:j:l}=A_{m:k}R_{ilj}^m+A_{i:m}R_{klj}^m -(22)$$$$A_{i:l:j:k}-A_{i:l:k:j}=A_{m:l}R_{ijk}^m+A_{i:m}R_{ljk}^m -(23)$$
(21)、(22)、(23)の左辺を、リーマン曲率テンソルを定義を使って書き換えます。ここで、(21)、(22)、(23)の左辺の和と、(24)、(25)、(26)の左辺の和は等しいことに留意してください。
$$A_{i:j:k:l}-A_{i:k:j:l}=(A_mR_{ijk}^m)_{:l}=A_{m:l}R_{ijk}^m+A_mR_{ijk:l}^m -(24)$$
$$A_{i:k:l:j}-A_{i:l:k:j}=(A_mR_{ikl}^m)_{:j}=A_{m:j}R_{ikl}^m+A_mR_{ikl:j}^m -(25)$$
$$A_{i:l:j:k}-A_{i:j:l:k}=(A_mR_{ilj}^m)_{:k}=A_{m:k}R_{ilj}^m+A_mR_{ilj:k}^m -(26)$$
(21)、(22)、(23)の右辺第２項の合計は、ビアンキの関係式（①）により０になることが分かります。また、(21)、(22)、(23)の右辺第１項は、(24)、(25)、(26)の右辺第１項に等しいため、これらは打消します。従って、以下の項のみ残ります。
$$A_mR_{ijk:l}^m+A_mR_{ikl:j}^m+A_mR_{ilj:k}^m=0$$
ここで、ベクトル $A_m$ は任意であるため、ビアンキの恒等式が導かれます。
