【高校数学】微分と積分・統計

/高校数学

微分と積分(数学Ⅱ)

導関数

導関数の定義は以下になります。

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

これにより導関数の公式は以下になります。

  • $n$ が正の整数のとき、$(x^n)’=nx^{n-1}$
  • $c$ が定数で、$y=c$ ならば、$y’=0$
  • $k,l$ が定数で、$y=kf(x)\pm lg(x)$ ならば、$y’=kf'(x)\pm lg'(x)$

接線の方程式

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a,f(a))$ における接線の方程式は以下になります。

$$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$

関数の極大と極小

  • ある区間で常に、
    $f'(x)\gt0$ ならば、$f(x)$ はその区間で増加
    $f'(x)\lt0$ ならば、$f(x)$ はその区間で減少
  • $f'(a)=0$ となる $x=a$ を境にして、
    $f'(a)$ が正から負に変われば、$f(a)$ は極大値
    $f'(a)$ が負から正に変われば、$f(a)$ は極小値

不定積分

$n$ が正の整数または0のとき、

$$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$

定積分

$f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とすると、

$$\int_a^bf(x)dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)$$

$k,l$ を定数とすると、定積分は以下の性質をもちます。

$$\int_a^b\Big(kf(x)\pm lg(x)\Big)dx=k\int_a^bf(x)dx\pm l\int_a^bg(x)dx$$$$\int_a^af(x)dx=0$$$$\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$$$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$$$$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)$$

偶関数と奇関数の原点に対称な積分は以下になります。

$$\int_{-a}^ax^{2n}dx=2\int_0^ax^{2n}dx$$$$\int_{-a}^ax^{2n-1}dx=0$$

曲面間の面積

区間 $a\le x\le b$ において、$f(x)\ge g(x)$ であるとき、この2つの曲線に囲まれた面積は、

$$S=\int_a^b\Big(f(x)-g(x)\Big)dx$$

確率分布と統計的な推測(数学B)

期待値と分散

$X$ を確率変数とすると、期待値(平均)$E(X)$ と分散 $V(X)$ は以下で定義されます。

$$E(X)=\sum_{k=1}^np_kx_k$$$$V(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2)-(E(X))^2$$

期待値と分散
ある確率変数に確率分布の重みをつけて足し合わせた加重平均、期待値、分散、共分散、相関係数

確率変数の和と積

$X,Y$ は確率変数、$a,b$ は定数の場合、

  • $E(aX+b)=aE(X)+b$
  • $V(aX+b)=a^2V(X)$
  • $E(aX+bY)=aE(X)+bE(X)$
  • $E(XY)=E(X)E(Y)$
  • $V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(X)$

二項分布

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,p)={}_nC_rp^rq^{n-r}$ 、($p+q=1$)に従うとき、

  • $E(X)=np$
  • $V(X)=npq$

正規分布

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従うとき、

  • $E(X)=m$
  • $V(X)=\sigma^2$

以下の場合、確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従います。

  • 確率変数 $X$ が正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従うときの $Z=(X-m)/\sigma$
  • 確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うときの $Z=(X-np)/\sqrt{npq}$

標本平均

母集団から $n$ 個抽出する場合、標本の平均 $\bar{X}$ の平均と標準偏差は、

$$E(\bar{X})=m$$$$\sigma(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

$n$ が十分大きければ、標本平均は正規分布 $N(m,\sigma^2/n)$ と見なすことができます。

 

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