量子統計とは

/統計力学

量子統計

量子統計とは、量子力学に従う系の統計力学で、フェルミ・ディラック統計とボーズ・アインシュタイン統計の2つがあります。

量子力学において、局所化された2つの同種の粒子は区別することができません。このため、同種の多粒子系の波動関数について、以下の2つの場合のみ、シュレディンガー方程式の解として許されることが分かっています。

  • フェルミ粒子(フェルミオン)
    系の波動関数は、任意の2粒子の交換に対して符号を変える(反対称)
    ⇒フェルミ・ディラック統計に従う。
  • ボーズ粒子(ボソン)
    系の波動関数は、任意の2粒子の交換に対して符号を変えない(対称)
    ⇒ボーズ・アインシュタイン統計に従う。

フェルミ・ディラック統計

フェルミ・ディラック統計は、相互作用のないフェルミ粒子の系において、1つのエネルギー準位にある粒子数の分布を表します。

フェルミ分布関数 $f$ は、エネルギー準位を $\epsilon_k$、化学ポテンシャルを $\mu$、温度を $T$、ボルツマン定数を $k$ とすると以下で表されます。尚、$n_k$ は1つのエネルギー準位の粒子数の平均、$N$ は全粒子数です。

$$f(\epsilon_k)=\frac{\bar{n}_k}{N}=\frac{1}{e^{(\epsilon_k-\mu)/kT}+1}$$

フェルミ分布関数は $0\sim1$ の間の値をとります。また、$\epsilon_k=\mu$ で $f(\mu)=1/2$ となることが分かります。

高エネルギーの場合

$e^{(\epsilon_k-\mu)/kT}\gg1$ でとなるため、

$$f(\epsilon)\propto e^{-\epsilon/kT}$$

高エネルギーの場合は、マックスウェル分布に近似されることが分かります。

低エネルギーの場合

$\epsilon_k\lt\mu$ の場合は指数の中は負になるため、温度を0に近づけると、フェルミ分布関数は1になります。

$$f(\epsilon_k)=\lim_{T\to0}\frac{1}{e^{(\epsilon_k-\mu)/kT}+1}=1$$

$\epsilon_k\gt\mu$ の場合は指数の中は正になるため、温度を0に近づけると、フェルミ分布関数は0になります。

$$f(\epsilon_k)=\lim_{T\to0}\frac{1}{e^{(\epsilon_k-\mu)/kT}+1}=0$$

尚、このときの $\mu$ はフェルミエネルギー($\epsilon_F$)と呼ばれています。

ボーズ・アインシュタイン統計

ボーズ・アインシュタイン統計は、相互作用のないボーズ粒子の系において、1つのエネルギー準位にある粒子数の分布を表します。

ボーズ分布関数 $f$ は以下で表されます。

$$f(\epsilon_k)=\frac{\bar{n}_k}{N}=\frac{1}{e^{(\epsilon_k-\mu)/kT}-1}$$

ボーズ分布関数も $0\sim1$ の間の値をとります。

分布関数を導く

フェルミ分布関数

量子状態のエネルギー準位を低い方から $g_k$ づつのグループに分け、それに粒子数 $n_k$ を割当てるとします($g_k\gt n_k$)。但し、フェルミ粒子の場合、量子状態を占める粒子の数は1か0です。

これは、$g_k$ 個の箱に $n_k$ のボールを入れる問題で、1つの箱に入れるボールの数は1つまでの場合です。この場合の1つのグループ当りの状態(組合せ)の数は、

$$\frac{g_k!}{n_k!(g_k-n_k)!}$$

全てのグループの状態の数 $G$ は、これの積になるため、

$$G=\prod_k\frac{g_k!}{n_k!(g_k-n_k)!}  -①$$

尚、以下の全粒子数 $N$ と全エネルギー $E$ は一定と考えます。

$$\sum_kn_k=N  -②$$$$\sum_k\epsilon_kn_k=E  -③$$

実際に起こりうるのは最も状態数が多い場合、つまり $G$ が停留値をもつ場合です。まず、①の対数をとり、スターリンの公式($\ln{n!}\cong n\ln{n}-n$)を使うと、

$$\ln{G}=\sum_k\Big(g_k\ln{g_k}-n_k\ln{n_k}-(g_k-n_k)\ln{(g_k-n_k)}\Big)$$

これに変分 $\delta$ をとり、停留値の条件は以下になります。

$$\delta\ln{G}=\sum_k\Big(\ln{n_k}-\ln{(g_k-n_k)}\Big)\delta n_k=0  -①’$$

②と③についても停留値の条件は、

$$\sum_k\delta n_k=0  -②’$$$$\sum_k\epsilon_k\delta n_k=0  -③’$$

②’と③’の条件の下、①’を満たす条件を求めるため、ラグランジュ乗数法を用います。ここで、$\alpha$ と $\beta$ は定数です。

$$\sum_k\Big(\ln{\frac{n_k}{g_k-n_k}}+\alpha+\beta\epsilon_k\Big)\delta n_k=0$$

この括弧の中が0になるための条件は以下になります。

$$n_k=\frac{g_k}{e^{\alpha+\beta\epsilon_k}+1}$$

各グループでの平均を取ると、

$$\bar{n}_k=\frac{n_k}{g_k}=\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_k}+1}$$

古典統計からの類推で $\beta=1/kT$ と置き、条件②を満たすように $\alpha$ を定めます。

ボーズ分布関数

フェルミ粒子の場合と同様に、量子状態のエネルギー準位を低い方から $g_k$ づつのグループに分け、それに粒子数 $n_k$ を割当てるとします($g_k\gt n_k$)。但し、ボーズ粒子の場合、量子状態を占める粒子の数は0から無数にあります。

これは、$g_k$ 個の箱に $n_k$ のボールを入れる問題で、1つの箱に入れるボールの数はいくつでもよい場合です。言い換えると、$g_k-1$ 個の壁と $n_k$ のボールの並べ方を数えることと等しいため、1つのグループ当りの状態(組合せ)の数は、

$$\frac{(n_k+g_k-1)!}{n_k!(g_k-1)!}$$

全てのグループの状態の数 $G$ は、これの積になるため、

$$G=\prod_k\frac{(n_k+g_k-1)!}{n_k!(g_k-1)!}  -④$$

実際に起こりうるのは最も状態数が多い場合、つまり $G$ が停留値をもつ場合です。まず、④の対数をとり、スターリンの公式を使い、変分 $\delta$ をとると、停留値の条件は以下になります。

$$\delta\ln{G}=\sum_k\Big(\ln{n_k}-\ln{(g_k+n_k)}\Big)\delta n_k=0  -④’$$

②’と③’の条件の下、④’を満たす条件を求めるため、ラグランジュ乗数法を用いると、

$$\sum_k\Big(\ln{\frac{n_k}{g_k+n_k}}+\alpha+\beta\epsilon_k\Big)\delta n_k=0$$

この括弧の中が0になるための条件は以下になります。

$$\bar{n}_k=\frac{n_k}{g_k}=\frac{1}{e^{\alpha+\beta\epsilon_k}-1}$$

古典統計からの類推で $\beta=1/kT$ と置き、条件②を満たすように $\alpha$ を定めます。

 

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