ステファン・ボルツマンの法則とは

熱・統計力学

ステファン・ボルツマンの法則とは

ステファン・ボルツマンの法則とは、黒体放射(空洞放射)のエネルギー密度は温度の4乗に比例するという法則です。これは、星の光度と表面温度の関係に応用することができます。単位時間に単位面積に放出されるエネルギー(K)と温度(T)には以下の関係があります。

$$K(T)=\sigma T^4$$

ここで $\sigma$ はステファン・ボルツマン定数と呼ばれ、以下の値を持ちます。

$$\sigma=5.67×10^{-8} Wm^{-2}K^{-4}$$

星の光度と見かけの明るさ

星の光度とは、天球全体から単位時間に放射されるエネルギーで、天体の真の明るさを示します。一方、光源から離れるほど見かけの明るさ(輻射流束)は暗くなります。天体からの距離をrとすると、光度(L)と輻射流束(~K)の関係は以下になります。

$$K=\frac{L}{4\pi r^2}$$

星の半径をRとすると、ステファン・ボルツマンの法則より、星の光度と温度の関係は以下で表すことができます。

$$L=4\pi R^2\sigma T^4$$

ステファン・ボルツマンの法則の導出

以下、分子運動論的に導きます。

弾性衝突を仮定すると、運動量 $P_x=mc_x$ を持つ分子が壁に与える力積は $2P_x$、次の衝突までの時間は $2L/c_x$ であるので、壁の面積(S)、圧力(p)との関係は以下になります。

$$\sum 2P_x\frac{c_x}{2L}=Sp  -①$$

電磁場のエネルギー $U=c|{\bf P}|$ を成分で表すと、

$$U\frac{{\bf c}}{c}=c|{\bf P}|$$

となるため、x 成分に注目すると $P_x=Uc_x/c^2$ となるため、①より以下になります。

$$p=\frac{1}{V}\sum U\frac{c_x^2}{c^2}$$

ここで体積を V=SL としています。空間の等方性を仮定すると、$c^2=c_x^2+c_y^2+c_z^2$ で $\sum c_x^2=\sum c_y^2=\sum c_z^2$ であるため以下が導かれます。

$$p=\frac{U}{3V}=\frac{1}{3}u(T)$$

u は単位体積当たりの電磁場のエネルギーで、この式は電磁波が物体に及ぼす圧力を示します。この式を、熱力学の関係式、

$$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V-p$$

に代入すると以下の微分方程式が得られます。

$$\frac{du}{u}=4\frac{dT}{T}$$

$$u(T)\sim T^4$$

光速度をcとすると、単位時間、単位面積当たりのエネルギーは $K\sim cu$ となるため、以下が求められます。

$$K(T)=\sigma T^4$$

 

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