ビリアル定理とは
ビリアル定理とは、多粒子系における、運動エネルギー（$K$）とポテンシャルエネルギー（$V$）の関係式で、以下で表すことができます。ここで、運動エネルギーは正の値、ポテンシャルエネルギーは負の値を持ちます。
$$2K+V=0 －①$$
ビリアル定理は、粒子が動き得る範囲が有限である多粒子系において、古典物理、量子物理のいずれにおいても成立します。天体物理などに応用される関係式です。
惑星の平衡状態
惑星が全体として平衡状態のあるとき、構成する原子（電子）の運動エネルギー（$K$）、静電エネルギー（$V_e$）、重力エネルギー（$V_g$）の間にもビリアルの定理が成立ちます。
$$2K+V_e+V_g=0$$
ビリアル定理を導く
ある軸回りの慣性モーメント（$I$）は以下で定義されます。
$$I\equiv\sum_{i=1}^Nm_i{\bf r}_i\cdot{\bf r}_i$$
両辺を２回時間微分すると、以下が得られます。
$$\frac{d^2I}{dt^2}=2\sum_{i=1}^Nm_i(\dot{{\bf r}}_i\cdot\dot{{\bf r}}_i+\ddot{{\bf r}}_i\cdot{\bf r}_i)$$
系全体としては時間的に定常で、慣性モーメントも一定なら左辺は０になります。また、右辺の第２項は運動エネルギー（$K$）を表しているため、書き換えると以下が求められます。
$$2K+\sum_{i=1}^N{\bf F}_i\cdot{\bf r}_i=0 －②$$
ここで ${\bf F}_i$ は、粒子 $i$ に対し、他の粒子から働く力（重力など）の総和です。
$${\bf F}_i=\sum_{j\ne i}^N{\bf F}_{ij} -③$$
この ${\bf F}_{ij}$ は、粒子 $i$ に働く粒子 $j$ の力で、向きは $i\to j$（${\bf r}_j-{\bf r}_i$）になります。比例定数を $a$ とすると、一般に距離 $r$ の２乗に反比例する形式で表されます。
$${\bf F}_{ij}=\frac{a}{r_{ij}^2}\frac{{\bf r}_j-{\bf r}_i}{r_{ij}} -④$$$$r_{ij}\equiv|{\bf r}_i-{\bf r}_j|$$
一方、力が上記のように表される場合、ポテンシャルエネルギーは以下になります。
$${\bf F}_{ij}=\nabla V_{ij}$$$$V_{ij}=-\frac{a}{r_{ij}}$$
②の第２項に③を代入して整理し、次に④を代入（２行目）すると、
$$\sum_{i=1}^N{\bf F}_i\cdot{\bf r}_i=\sum_{i=1}^N\sum_{j\ne i}^N{\bf F}_{ij}\cdot{\bf r}_i=\sum_{i<j}^N{\bf F}_{ij}\cdot({\bf r}_i-{\bf r}_j)$$$$=-\sum_{i<j}^N\frac{a}{r_{ij}}=V$$
最後は粒子間に働くポテンシャルの総和（$V$）になります。以上より、ビリアル定理（①）が求められました。
