共変微分とは
共変微分とは、曲線座標においてテンソルとなる微分です。物理法則は、座標系に関わらず成り立つものであるため、場の微分は共変微分（テンソル）で表される必要があります。
共変微分は一般にはナブラ記号（$\nabla$）で表され、クリストッフェル記号を用いて定義されますが、
$$\nabla_jA^i\equiv\frac{\partial A^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{kj}A^k$$
本記事では、共変微分をコロン（：）、普通の微分（反変微分）をカンマ（，）で表すことにします。
$$A^i_{:j}=A^i_{,j}+\Gamma^i_{kj}A^k －①$$
ここでクリトッフェル記号は以下で表されます。
$$\Gamma^k_{ij}=g^{kl}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j}+ \frac{\partial g_{lj}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\right)$$
テンソルの条件
テンソルとは座標変換に対して不変となる量（物理量）で、言い換えると、位置ベクトルと同じ変換に従います。例えば、ある微小区間 $\delta x^i$ を $\delta x^{i’}$ に変換する場合、
$$\delta x^{i’}=\frac{\partial x^{i’}}{\partial x^j}\delta x^j$$
に従って変換されます。２階のテンソル $T^{ij}$ の場合もこれと同じ変換が行われるとすると、
$$T^{i’j’}=\frac{\partial x^{i’}}{\partial x^k}\frac{\partial x^{j’}}{\partial x^l}T^{kl}$$
添字が下付きのテンソルの場合は、変換係数の上下が逆になります。
$$T_{i’j’}=\frac{\partial x^k}{\partial x^{i’}}\frac{\partial x^l}{\partial x^{j’}}T_{kl}$$
以下、変換の係数は簡略化のため以下で表すことにします。
$$X^{i’}_{,k}\equiv\frac{\partial x^{i’}}{\partial x^k} , X^k_{,i’}\equiv\frac{\partial x^k}{\partial x^{i’}}$$
反変微分はテンソルではない
ベクトル場 $A^i$ の反変微分 $A^i_{,j}$ がテンソルであるかどうかを確認すると、
$$A^{i’}_{,j’}=(A^lX^{i’}_{,l})_{,j’}=A^l_{,n}X^n_{,j’}X^{i’}_{,l}+A^lX^{i’}_{,lj’} －②$$
このように、第１項はテンソルの変換に従いますが、余分な第２項が出てきてしまうため、反変微分はテンソルでないことが分かります。
共変微分はテンソルである
まず、クリストッフェル記号はテンソルではありません。座標変換を行うと、以下のように変換されます。
$$\Gamma^{i’}_{k’j’}=\Gamma^l_{mn}X^{i’}_{,l}X^m_{,k’}X^n_{,j’}-X^{i’}_{,mn}X^m_{,k’}X^n_{,j’} －③$$
これを利用して、①の座標変換を行います。②と③を代入すると、
$$A^{i’}_{,j’}+\Gamma^{i’}_{k’j’}A^{k’}=A^l_{,n}X^n_{,j’}X^{i’}_{,l}+A^lX^{i’}_{,lj’}$$$$+(\Gamma^l_{mn}X^{i’}_{,l}X^m_{,k’}X^n_{,j’}-X^{i’}_{,mn}X^m_{,k’}X^n_{,j’})X^{k’}_{,r}A^r$$
右辺の第４項は以下のように書き換えられるため、
$$X^{i’}_{,mn}X^m_{,k’}X^n_{,j’}X^{k’}_{,r}A^r=X^{i’}_{,k’j’}X^{k’}_{,r}A^r=X^{i’}_{,rj’}A^r$$
これは第２項と消去されます。従って、
$$A^{i’}_{,j’}+\Gamma^{i’}_{k’j’}A^{k’}=(A^l_{,n}+\Gamma^l_{mn}A^m)X^n_{,j’}X^{i’}_{,l}$$
これにより、共変微分がテンソルであることが分かります。
