指数関数の積分公式 - 理数の散策路

指数関数の積分

底がネイピア数である指数関数を積分すると円周率が現れます。

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}　　－①$$

積分 $I$ を以下で定義します。

$$I\equiv\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$$

この $I$ を２乗すると、

$$I^2=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

これを極座標（$r,\theta$）に変換するっと、$x^2+y^2=r^2$ と $dxdy=rdrd\theta$ と書き換えることができるので、容易に積分することができます。

$$I^2=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\infty re^{-r^2}dr=2\pi\left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_0^\infty=\pi$$

これより、$I=\sqrt{\pi}$ が得られます。

以下、類似の公式を列記します。

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}　　－②$$

①で $y\equiv\sqrt{a}x$ と置くと、②は以下のように求められます。

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\frac{dy}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

$$\int_{-\infty}^\infty x^2e^{-ax^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a^3}}　　－③$$

②を $a$ で微分すると③が得られます。

$$\int_{-\infty}^\infty x^4e^{-ax^2}dx=\frac{3}{4}\sqrt{\frac{\pi}{a^5}}　　－④$$

③を $a$ で微分すると④が得られます。