エネルギー&運動量とは

/力学

エネルギー

エネルギーとは仕事をすることのできる能力です。仕事とは、ある力(force)で、物体をある距離移動させた場合に発生します。またエネルギーは、運動エネルギーや位置エネルギーなど、見かけの形態が異なる場合もあります。

エネルギー(仕事)の定義は以下になります。仕事($W$)を行うことで、エネルギーの変化($\Delta E$)が生じると考えます。

$$\Delta E=W=\int{\bf F}\cdot d{\bf r}$$

エネルギーの単位はジュール($J\sim N\cdot m$)です。1N(ニュートン)の力で1m移動させると、1ジュールの仕事(エネルギー)になります。

上の式の右辺は、力($F$)と距離(${\bf r}$)は内積で表されます。つまり、力の方向に移動した距離が仕事(エネルギーの変化)に貢献します。例えば、進行方向に対し常に垂直に働くローレンツ力は仕事をしません。

仕事率

仕事率($P$)とは、単位時間当たりの仕事量(エネルギー)です。仕事率の単位はワット($W$)です。例えば、1秒間当たり、1ジュールのエネルギーを消費する電球は1ワットになります。

$$P=\frac{\Delta E}{\Delta t}$$

エネルギーの形態

エネルギーにはいくつかの形態(種類)があります。エネルギーはその形態を変えても、エネルギーの量それ自体は保存されると考えられています。

運動エネルギーは、物の運動に伴うエネルギーです。質量を $m$、速度を $v$ とすると、運動エネルギーは以下で表されます。

$$E=\frac{1}{2}mv^2$$

位置エネルギーとは、重力のある場所で高さに依存するエネルギーです。重力加速度を $g$、高度を $h$ とした場合、位置エネルギーは以下で表されます。

$$E=mgh$$

運動量

運動量とは、物体の運動の状態を表す物理量で、動いている物体の止めにくさとして体感されます。運動量は質量と速度の積で表されるので、同じ質量の場合は、速度が速い方が運動量も大きいとされます。また、速度が同じ場合は、質量が大きい方が運動量も大きくなります。

運動量($p$)は、質量($m$)と速度($v$)の積として定義されます。一定時間、力(force)を加えることで、運動量を変化させることができます。

$${\bf p}=m{\bf v}$$

力積

力積(りきせき)とは、力($F$)と時間の積で表されます。一定時間($\Delta t$)の間に、速度が $v$ から $v’$ に変化したときの加速度($a$)は以下で表されますが、

$$a=\frac{v’-v}{\Delta t}$$

これをニュートンの運動方程式($F=ma$)に代入すると以下の式が得られます。

$$mv’-mv=p’-p=F\Delta t$$

この右辺が力積で、運動量の変化分に相当します。

$$\Delta{\bf p}=\int{\bf F}dt$$

運動量の保存

ニュートンの運動方程式は、運動量を使って以下のように書くことができます。

$${\bf F}=\frac{d{\bf p}}{dt}$$

これより、力 $F$ が働かない場合は、運動量は保存される、つまり物体は一定速度のまま運動することが分かります。保存量は物理学で重要な概念となります。そのため、速度よりも運動量のほうが、より本質的な物理量として取り扱われます。

角運動量

角運動量とは、ある地点(中心)から見た運動量です。位置 ${\bf r}$ を運動する質点の角運動量 $L$ は、以下で定義されます。

$${\bf L}={\bf r}\times{\bf p}$$

各運動量の保存

角運動量の定義式の両辺を時間微分し、以下のオイラーの運動方程式が得られます。これは、角運動量の場合のニュートンの運動方程式に相当します。

$${\bf N}=\frac{d{\bf L}}{dt}$$

ここで左辺($N$)は力のモーメントと呼ばれ以下で定義されます。

$${\bf N}={\bf r}\times{\bf F}$$

オイラーの運動方程式より、力のモーメントが働かない場合は、角運動量は保存されることが分かります。

例えば、太陽の周りを回る地球のように、太陽からの引力(${\bf F}$)の方向と太陽の方向(${\bf r}$)が一致する力を中心力と言います。この中心力の場合は、力のモーメントはゼロになるため、角運動量は保存されます。

 

単位まとめ
力学系の単位、電磁気学系の単位、質量・長さ・時間・電流の4つ基本次元
基礎物理
力学、連続体力学、電磁気学、波動・光学、相対論、熱力学、統計力学
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